Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝50°，点D在线段BC上运动（不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．

（1）当∠BDA＝105°时，∠BAD＝　 　°，∠DEC＝　 　°；

（2）若DC＝AB，求证：△ABD≌△DCE；

（3）在点D的运动过程中，是否存在△ADE是等腰三角形？若存在，请直接写出此时∠BDA的度数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）25，105；（2）见解析；（3）当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数为100°或115°.

【解析】

（1）利用邻补角的性质、等边对等角和三角形内角和定理解题即可；

（2）利用∠DEC+∠EDC＝130°，∠ADB+∠EDC＝130°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AAS即可得出△ABD≌△DCE；

（3）根据等腰三角形的腰的情况分类讨论，在利用等腰三角形的性质和三角形的外角即可分别求出∠BDA.

解：（1）∵在△BAD中，∠B＝∠50°，∠BDA＝105°，∠ADE＝50°，

∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝25°，∠EDC＝180°﹣∠BDA﹣∠ADE=25°

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝50°，

∴∠DEC＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣50°﹣25°＝105°，

故答案为：25，105；

（2）∵∠B＝∠C＝50°，

∴∠DEC+∠EDC=180°﹣∠C＝130°，

又∵∠ADE＝50°，

∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣∠ADE =130°，

∴∠ADB＝∠DEC，

在△ABD和△DCE中，

∴△ABD≌△DCE（AAS）．

（3）当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数为100°或115°，

①当ED=EA时，

∴∠DAE＝∠EDA=50°，

∴∠BDA＝∠C＋DAE＝100°；

②当DA=DE时，

∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝65°，

∴∠BDA＝∠C＋DAE＝115°，

③当AD=AE时，

∠ADE=∠AED=50°

∵∠C=50°

∠AED是△EDC的外角

∴∠AED＞∠C，与∠AED=50°矛盾

所以此时不成立；

综上所述：当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数为100°或115°．