【题目】已知在平面直角坐标系中,直线
分别交
轴和
轴于点
.
(1)如图1,已知经过点
,且与直线
相切于点
,求
的直径长;
(2)如图2,已知直线分别交
轴和
轴于点
和点
,点
是直线
上的一个动点,以
为圆心,
为半径画圆.
①当点与点
重合时,求证: 直线
与
相切;
②设与直线
相交于
两点, 连结
. 问:是否存在这样的点
,使得
是等腰直角三角形,若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) 的直径长为
;(2) ①见解析;②存在这样的点
和
,使得
是等腰直角三角形.
【解析】
(1)连接BC,证明△ABC为等腰直角三角形,则⊙P的直径长=BC=AB,即可求解;
(2)过点作
于点
,证明CE=ACsin45°=4×
=2
=圆的半径,即可求解;
(3)假设存在这样的点,使得
是等腰直角三角形,分点
在线段
上时和点
在线段
的延长线上两种情况,分别求解即可.
(1)如图3,连接BC,
∵∠BOC=90°,
∴点P在BC上,
∵⊙P与直线l1相切于点B,
∴∠ABC=90°,而OA=OB,
∴△ABC为等腰直角三角形,
则⊙P的直径长=BC=AB=3
(2)如图4过点作
于点
,
图4
将代入
,得
,
∴点的坐标为
.
∴,
∵,
∴.
∵点与点
重合,
又的半径为
,
∴直线与
相切.
②假设存在这样的点,使得
是等腰直角三角形,
∵直线经过点
,
∴的函数解析式为
.
记直线与
的交点为
,
情况一:
如图5,当点在线段
上时,
由题意,得.
如图,延长交
轴于点
,
图5
∵,
∴,
即轴,
∴点与
有相同的横坐标,
设,则
,
∴.
∵的半径为
,
∴,
解得,
∴,
∴的坐标为
.
情况二:
当点在线段
的延长线上时,同理可得
,
的坐标为
.
∴存在这样的点和
,使得
是等腰直角三角形.
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【题目】已知:四边形ABCD中,,
,AD=CD,对角线AC,BD相交于点O,且BD平分∠ABC,过点A作
,垂足为H.
(1)求证:;
(2)判断线段BH,DH,BC之间的数量关系;并证明.
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【题目】某市特产大闸蟹,2016年的销售额是亿元,因生态优质美誉度高,销售额逐年增加2018年的销售额达
亿元,若2017、2018年每年销售额增加的百分率都相同.
(1)求平均每年销售额增加的百分率;
(2)该市这年大闸蟹的总销售额是多少亿元?
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【题目】已知,如图抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点A在点B左侧.点B的坐标为(1,0),OC=3OB,
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大值;
(3)若点E在x轴上,点P在抛物线上.是否存在以A,C,E,P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在,写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】二次函数的顶点
是直线
和直线
的交点.
(1)用含的代数式表示顶点
的坐标.
(2)①当时,
的值均随
的增大而增大,求
的取值范围.
②若,且
满足
时,二次函数的最小值为
,求
的取值范围.
(3)试证明:无论取任何值,二次函数
的图象与直线
总有两个不同的交点.
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【题目】已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0。
(1)求证:方程恒有两个不相等的实数根;
(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求以此两根为边长的直角三角形的周长。
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【题目】在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D在BC边上,把△ABD沿AD折叠后,使得点B落在点E处,连接CE,若∠DBE=20°,则∠ADC=________.
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【题目】把二次涵数的图象先向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到二次函数
的图象.
(1)试确定,
,
的值;
(2)指出二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
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