Question

9．如图，平面直角坐标系中O（0，0）、A（x₁，y₁）、B（0，4）、C（x₂，y₂）顺次连接组成一长方形．
（1）若点A与点C关于y轴对称，求点A、C坐标；
（2）若A、C纵坐标满足y₁=3y₂，求点A、C坐标．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据轴对称的性质得：OB是AC的中垂线，得正方形ABCO，再由点B的坐标可知：AC和BD的长，由正方形的对角线互相平分得出A、C两点的坐标；
（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△ABE≌△COF，由y₁=3y₂，可知OE=3BE=3OF，根据OB=4可以计算出BE、OF的长，再证明△AOH∽△OCG，列比例式$\frac{OH}{CG}=\frac{AH}{OG}$，求出OH的长，即点A的横坐标，最后根据象限特点写出坐标．

解答 解：（1）如图1，连接AC，交OB于D，
∵点A与点C关于y轴对称，
∴OB是AC的中垂线，
∴AC⊥OB，
∴长方形ABCO是正方形，
∴AC=BO，BD=OD，
∵B（0，4），
∴OB=4，OD=2，
∴AC=4，
∴AD=CD=2，
∴A（2，2），B（-2，2）；
（2）如图2，分别过A、C作y轴的垂线，垂足分别为E、F，
则∠AEB=∠CFO=90°，
∵四边形ABCO是长方形，
∴AB∥OC，AB=OC，
∴∠ABE=∠COF，
∴△ABE≌△COF，
∴BE=OF，AE=CF，
∵A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），且y₁=3y₂，
∴OE=3OF，
∴OE=3BE，
∵B（0，4），
∴OB=4，
∴OE=3，OF=1，
分别过A、C作x轴的垂线，垂足分别为G、H，则AH=OE=3，CG=OF=1，
∵四边形ABCO是长方形，
∴∠AOC=90°，
∴∠AOH+∠COG=90°，
∵∠OAH+∠AOH=90°，
∴∠OAH=∠COG，
∵∠CGO=∠AHO=90°，
∴△AOH∽△OCG，
∴$\frac{OH}{CG}=\frac{AH}{OG}$，
∵OH=OG=AE，
∴OH²=3×1=3，
∴OH=±$\sqrt{3}$，
∴A（$\sqrt{3}$，3）、C（-$\sqrt{3}$，1）．

点评 本题考查了矩形、正方形及关于坐标轴对称的性质，同时还考查了全等三角形、相似三角形的性质和判定；做好本题要熟知：①矩形的对边相等且平行，每个角都是直角，②同角的余角相等，③对称轴是对称点连线的垂直平分线；要注意写坐标时第二象限的横坐标为负数．