Question

20．如图，已知函数y=-$\frac{1}{2}$x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=x的图象交于点M，点M的横坐标为2，在x轴上有一点P（a，0）（其中a＞2，过点P作x轴的垂线，分别交函数y=-$\frac{1}{2}$x+b和y=x的图象于点C、D．
（1）已知OB=CD，求a的值；
（2）已知OB=2CD，求a的值；
（3）你还能提出什么问题？

Answer 1

分析 （1）先利用直线y=x上的点的坐标特征得到点M的坐标为（2，2），再把M（2，2）代入y=-$\frac{1}{2}$x+b即可求得b的值，则A和B的坐标即可求得，△OPD是等腰直角三角形，设OP=a，则D的坐标是（a，a），把x=a代入y=-$\frac{1}{2}$x+b即可求得C的坐标，根据OB=CD即可列方程求得a的值；
（2）同（1）的方法，以及OB=2CD列方程求解；
（3）可以把OB=2CD改成OB=3CD或直接改成OB=nCD即可．

解答 解：（1）∵点M在直线y=x的图象上，且点M的横坐标为2，
∴点M的坐标为（2，2），
把M（2，2）代入y=-x+b得-1+b=2，解得b=3，
∴一次函数的解析式为y=-x+3，
把y=0代入y=-x+3得-x+3=0，解得x=6，
∴A点坐标为（6，0）；
把x=0代入y=-x+3得y=3，
∴B点坐标为（0，3），
∵CD=OB，
∴CD=3，
∵PC⊥x轴，
∴C点坐标为（a，-a+3），D点坐标为（a，a）
∴a-（-a+3）=3，
∴a=4；
（2）C的坐标是（a，-$\frac{1}{2}$a+3），D点坐标为（a，a），
则CD=a-（-$\frac{1}{2}$a+3）=$\frac{3}{2}$a-3．
∵OB=2CD，
∴3=2（$\frac{3}{2}$a-3），
∴a=3；
（3）问题：当OB=nCD时，求a的值．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式以及等腰直角三角形的性质，把OB与CD的大小关系转化为方程问题是本题的关键．