Question

一个工厂得到任务，需要加工A零件6000个和B零件2000个，该厂共有工人214名，每个人加工A零件5个的时间可以加工B零件3个．现将工人分成两组，分别加工一种零件，同时开始，应怎样分组才能使任务最快完成________．

Answer 1

加工A，B零件的人数分别为137，77名时可以最快地完成任务．
分析：设有x人加工A零件，则有214-x人加工B零件，在单位时间内，一个工人加工A零件的数目为5k，加工B零件的数目为3k，当同时完成任务时能最快完成任务．
解答：设有x人加工A零件，则有214-x人加工B零件，在单位时间内，一个工人加工A零件的数目为5k，加工B零件的数目为3k，根据题意得：T_A=，T_B=
其中k是一个常数．最后完成任务的时间就是T=max{T_A，T_B}=f（x），其中max{T_A，T_B}表示T_A与T_B中的较大者，而f（x）=max{，}；
现在问题转化为：自然数x（1≤x≤213）取何值时，f（x）有最小值？当时，
解得：x=137，则x=137或138，
当x=137时，f（x）=f（137）=max{，}=；
当x=138时，f（x）=f（138）=max{，}=；
∴f（137）＜f（138），
当x＜137时，∵，∴f（x）＞f（137）；
当x＞138时，∵，∴f（x）＞f（138）；所以f（x）的最小值在x=137时取到，即加工A，B零件的人数分别为137，77名时可以最快地完成任务．
点评：本题考查了二元一次方程的应用，涉及到最值的求法，方案的设计，最值的求法是解题的难点．