Question

如图①，双曲线y=

k

x

（k≠0）和抛物线y=ax²+bx（a≠0）交于A、B、C三点，其中B（3，1），C（-1，-3），直线CO交双曲线于另一点D，抛物线与x轴交于另一点E．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）抛物线在第一象限部分是否存在点P，使得∠POE+∠BCD=90°？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，过B作直线l⊥OB，过点D作DF⊥l于点F，BD与OF交于点N，求

DN

NB

的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题

分析：（1）用待定系数法即可求得．
（2）过O作OM⊥BC，则OM=

2

，因为OB=

10

，根据勾股定理求得MB=2

2

，进而求得tan∠COM=

BM

OM

=

2 2

2

=2，所以tan∠POE=2，从而求得P点的坐标．
（3）根据勾股定理求得DF、OB的长，根据DF∥OB得出

DN

NB

=

DF

OB

即可求得．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx（a≠0）过B（3，1），C（-1，-3），
∴

1=9a+3b -3=a-b

，
解得：

a=- 2 3 b= 7 3

，
∴抛物线的解析式为：y=-

2

3

x²+

7

3

x，
把B（3，1）代入y=

k

x

（k≠0）得：1=

k

3

，
解得：k=3，
∴双曲线的解析式为：y=

3

x

．

（2）存在点P，使得∠POE+∠BCD=90°；
∵B（3，1），C（-1，-3），设直线BC为y=kx+n，
∴

1=3k+n -3=-k+n

，
解得k=1，n=-2，
∴直线BC为：y=x-2，
∴直线BC与坐标轴的交点（2，0），（0，-2），
过O作OM⊥BC，则OM=

2

，
∵B（3，1），C（-1，-3），
∴OB=OC=

10

，
∴BM=

OB2-OM2

=

10-2

=2

2

，
∴tan∠COM=

BM

OM

=

2 2

2

=2，
∵∠COM+∠BCD=90°，∠POE+∠BCD=90°，
∴∠POE=∠COM，
∴tan∠POE=2，
∵P点是抛物线上的点，设P（m，-

2

3

m²+

7

3

m），
∴

- 2 3 m2+ 7 3 m

m

=2，
解得：m=

1

2

，
∴P（

1

2

，1）．
综上所述，存在点P（

1

2

，1），使得∠POE+∠BCD=90°．

（3）∵直线CO过C（-1，-3），
∴直线CO的解析式为y=3x，
解

y=3x y= 3 x

，
解得

x=1 y=3

，
∴D（1，3），
∵B（3，1），
∴直线OB的斜率=

1

3

，
∵直线l⊥OB，过点D作DF⊥l于点F，
∴DF∥OB，
∴直线l的斜率=-3，直线DF的斜率=

1

3

，
∵直线l过B（3，1），直线DF过D（1，3），
∴直线l的解析式为y=-3x+10，直线DF解析式为y=

1

3

x+

8

3

，
解

y=-3x+10 y= 1 3 x+ 8 3

，
解得

x= 11 5 y= 17 5

，
∴F（

11

5

，

17

5

），
∴DF=

( 11 5  -1)2+(  17 5 -3)2

=

2

5

10

，
∵DF∥OB，OB=

10

，
∴△DNF∽△BNO，
∴

DN

NB

=

DF

OB

=

2 5 10

10

=

2

5

．

点评：本题考查了待定系数法求解析式，勾股定理的运用，平行线的斜率的特点，以及图象的交点等．