Question

如图，点A、B、C在⊙O上，若∠AOB=y，∠ACB=x，且0°＜y＜180°，则y与x的函数关系式为________，自变量x的取值范围是________．

Answer 1

y=360°-2x    90°＜x＜180°
分析：在圆O的优弧AB上任取一点D，连接DA，DB，由同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半得到∠D为∠AOB的一半，由已知的∠AOB=y，表示出∠D，又四边形ACBD为圆O的内接四边形，根据圆内接四边形的对角互补可得∠D与∠ACB互补，由∠ACB=x以及表示出的∠D列出y关于x的关系式，同时由y的范围根据求出的关系式列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围．
解答：在优弧AB上取一点D，连接AD，BD，如图所示：

∵圆周角∠D与圆心角∠AOB所对的弧都为，
∴∠D=∠AOB，又∠AOB=y，
∴∠D=y，
又四边形ACBD为圆O的内接四边形，
∴∠D+∠C=180°，又∠C=x，
∴y+x=180°，即y=360°-2x，
∵0＜y＜180°，
∴0＜360°-2x＜180°，
解得：90°＜x＜180°．
故答案为：y=360°-2x；90°＜x＜180°
点评：此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，以及一元一次不等式的解法，解题的关键是作出如图的辅助线，构造圆内接四边形，利用圆周角定理来解决问题．