Question

6．已知a，b都是正整数，且满足a≤b，试问关于x的方程x²-abx+a+b=0是否有整数解？如果有，把它们求出来；如果没有，请给出证明．

Answer 1

分析 关于x的方程x²-abx+（a+b）=0有两个整数解．不妨设a≤b，且方程的两个整数根为x₁，x₂（x₁≤x₂），而a，b都是正整数，进一步利用跟与系数的关系分析探讨得出答案即可．

解答 解：关于x的方程x²-abx+（a+b）=0有两个整数解．
不妨设a≤b，且方程的两个整数根为x₁，x₂（x₁≤x₂），而a，b都是正整数，
∴x₁+x₂=ab＞0，x₁x₂=a+b＞0，
若x₁、x₂中有一个是正整数，由x₁+x₂=ab可知另一个也是正整数，
∴x₁•x₂-x₁-x₂=a+b-ab，即x₁•x₂-x₁-x₂-a-b+ab=0，
∴x₁•x₂-x₁-x₂+1+ab-a-b+1=2，
即（x₁-1）（x₂-1）+（a-1）（b-1）=2，
由于x₁，x₂，a，b都是正整数，（x₁-1）、（x₂-1）、（a-1）、（b-1）都是自然数，
∴（x₁-1）（x₂-1）=0，（a-1）（b-1）=2，或（x₁-1）（x₂-1）=（a-1）（b-1）=1，或（x₁-1）（x₂-1）=2，（a-1）（b-1）=0，
∴由（x₁-1）（x₂-1）=0，（a-1）（b-1）=2，得x₁=1，x₂=5，a=2，b=3，
由（x₁-1）（x₂-1）=（a-1）（b-1）=1，得x₁=x₂=2，a=b=2，
由（x₁-1）（x₂-1）=2，（a-1）（b-1）=0，得x₁=2，x₂=3，a=1，b=5．
由此可知，当a，b为其它值时，原方程没有正整数解．

点评 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的定义，熟记根与系数的关系和根的定义是解题的关键．