Question

16．如图，已知△ABC中，AD是中线，AE是△ABD的中线，BA=BD，∠BAD=∠BDA，求证：AC=2AE．

Answer 1

分析 由AE为中线，得到BE=ED，再由AE=EF，且夹角为对顶角相等，利用SAS得到三角形ABE与三角形FDE全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到AB=DF，∠BAE=∠EFD，利用外角性质及等式的性质得到∠ADF=∠ADC，利用SAS得到三角形ADF与三角形ADC全等，利用全等三角形的对应边相等得到AF=AC，由AE=$\frac{1}{2}$AF，等量代换即可得证．

解答 证明：延长AE到F，使EF=AE，连接DF，如图：
∵AE是△ABD的中线，
∴BE=ED，
在△ABE与△FDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DE}\\{∠AEB=∠DEF}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FDE（SAS），
∴AB=DF，∠BAE=∠EFD，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠DAC=∠ACD，∠ADB=∠BAD，
∴∠BAE+∠EAD=∠BAD，∠BAE=∠EFD，
∴∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD，
∴∠ADF=∠ADC，
在△ADF与△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠ADF=∠ADC}\\{FD=DC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ADC（SAS），
∴AF=AC，
∵AF=AE+EF，AE=EF，
∴AC=2AE．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．