Question

20．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．
（1）请你写出图中有哪几对相似三角形；
（2）若BD=2，AD=8，请你选出最佳一对予以证明，并由此结论能直接求出CD的长．

Answer 1

分析 （1）利用两组角相等即可得到两个三角形相似可找到所有相似的三角形；
（2）利用（1）中的△ADC∽△CDB，可得到结论．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠B=∠BCD+∠B，
∴∠A=∠BCD，且∠ADC=∠CDB，
∴△ADC∽△CDB，
在△ADC和△ACB中，∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ADC∽△ACB，
同理可得△CDB∽△ACB，
∴图中所有相似的三角形有：△ADC∽△CDB，△ADC∽△ACB，△CDB∽△ACB；
（2）由△ADC∽△CDB，可得$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，
∴CD²=AD•DB，
∵BD=2，AD=8，
∴CD²=16，
∴CD=4．

点评 本题主要考查三角形相似的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，在该题的图形中注意利用同角的余角相等找到角相等．