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【题目】已知∠ABC=90°,点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合),分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连接QE并延长交BP于点F.

(1)如图1,若AB=,点A,E,P恰好在一条直线上时,求EF的长(直接写出结果);

(2)如图2,当点P为射线BC上任意一点时,求证:BF=EF;

(3)若AB=,设BP=2,求QF的长.

【答案】(1)1;(2)见解析;(3)3.

【解析】

(1)根据A、E、P在同一直线上判断出点EAP的中点,先根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AP,然后根据等边三角形的性质求出QE.再根据直角三角形的性质求出QF,然后根据EF=QF﹣QE,代入数据进行计算即可;(2)先求出∠BAP=∠EAQ,然后利用“边角边”证明△ABP≌△AEQ,根据全等三角形对应角相等可得∠AEQ=∠ABP=90°,然后求出∠BEF=∠EBF=30°,再根据等角对等边的性质即可得证;(3)过点FFD⊥BE于点D,根据等腰三角形三线合一的求出BD,再解直角三角形求出BF的长度,即可得到EF的长,再根据全等三角形对应边相等可得QE=BP,然后代入数据进行计算即可.

解:(1)∵△ABE是等边三角形,A、E、P在同一直线上,

∴AB=AE,∠BAE=60°,

∴∠APB=30°,

∴AP=2AB=2

EAP的中点,

∴QE⊥AP,

∴QE=3,

∵∠APQ=60°,∠APB=30°,

∴∠QPF=90°,

∴QF=4,

∴EF=QF﹣QE=1;

(2)证明:∵∠BAP=∠BAE﹣∠EAP=60°﹣∠EAP,

∠EAQ=∠QAP﹣∠EAP=60°﹣∠EAP,

∴∠BAP=∠EAQ.

△ABP△AEQ中,

∴△ABP≌△AEQ(SAS),

∴∠AEQ=∠ABP=90°,

∴∠BEF=180°﹣∠AEQ﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°,

∵∠EBF=90°﹣60°=30°,

∴∠BEF=∠EBF,

∴EF=BF;

(3)如图,过点FFD⊥BE于点D,

∵△ABE是等边三角形,

∴BE=AB=

由(2)得∠EBF=30°,

Rt△BDF中,BD=BE=

∴BF==1,

∴EF=1,

∵△ABP≌△AEQ,

∴QE=BP=2,

∴QF=QE+EF=2+1=3.

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与标准质量的偏差(kg)

1.5

1

0.5

0

0.5

1

2

袋数()

40

30

10

25

40

20

35

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