【题目】定义:有两条边长的比值为 的直角三角形叫“潜力三角形”.如图,在△ABC中,∠B=90°,D是AB的中点,E是CD的中点,DF∥AE交BC于点F.
(1)设“潜力三角形”较短直角边长为a,斜边长为c,请你直接写出 的值为;
(2)若∠AED=∠DCB,求证:△BDF是“潜力三角形”;
(3)若△BDF是“潜力三角形”,且BF=1,求线段AC的长.
【答案】
(1)2或
(2)
解:证明:延长AE交BC于G,如图所示:
∵DF∥AE,D是AB的中点,
∴∠AED=∠CDF,BF=GF,
∵∠AED=∠DCB,
∴∠CDF=∠DCB,
∴DF=CF,
∵DF∥AE,E是CD的中点,
∴CG=GF,
∴BF=GF=CG,
∴DF=CF=2GF=2BF,
∴ = ,
又∵∠B=90°,
∴△BDF是“潜力三角形”;
(3)
解:分四种情况:
①当 = 时,
∵BF=1,
∴GF=CG=BF=1,BD=2,
∴AB=2BD=4,BC=3,
∴AC= = =5;
②当 = 时,DF=2BF=2,
∴BD= = = ,
∴AB=2BD=2 ,
∵BC=3,∠B=90°,
∴AC= = = ;
③当 = 时,BD= BF= ,
∴AB=2BD=1,
∵BC=3,∠B=90°,
∴AC= = = ;
④当 = 时,
设BD=x,则DF=2x,
由勾股定理得:(2x)2﹣x2=12,
解得:x= ,
∴AB=2BD= ,
∵BC=3,∠B=90°,
∴AC= = = ;
综上所述:若△BDF是“潜力三角形”,且BF=1,线段AC的长为5或 或 或 .
【解析】(1)解:分两种情况:
①当 = 时, =2;
②设另一条直角边长为b,当 = 时,b=2a,
∵∠B=90°,
∴c= = a,
∴ = ;
所以答案是:2或 ;
【考点精析】通过灵活运用三角形的“三线”,掌握1、三角形角平分线的三条角平分线交于一点(交点在三角形内部,是三角形内切圆的圆心,称为内心);2、三角形中线的三条中线线交于一点(交点在三角形内部,是三角形的几何中心,称为中心);3、三角形的高线是顶点到对边的距离;注意:三角形的中线和角平分线都在三角形内即可以解答此题.
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【题目】已知:如图,∠MON=45°,OA1=1,作正方形A1B1C1A2 , 面积记作S1;再作第二个正方形A2B2C2A3 , 面积记作S2;继续作第三个正方形A3B3C3A4 , 面积记作S3;点A1、A2、A3、A4…在射线ON上,点B1、B2、B3、B4…在射线OM上,…依此类推,则第6个正方形的面积S6是( )
A.256
B.900
C.1024
D.4096
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,过点B(6,0)的直线AB与直线OA相交于点A(4,2),动点M沿路线O→A→C运动.
(1)求直线AB的解析式.
(2)求△OAC的面积.
(3)当△OMC的面积是△OAC的面积的时,求出这时点M的坐标.
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【题目】某面粉加工厂加工的面粉,用每袋可装10g面粉的袋子装了200袋经过称重,质量超过标准质量10kg的用正数表示,质量低于标准质量10kg的用负数表示,结果记录如下
与标准质量的偏差(kg) | ﹣1.5 | ﹣1 | ﹣0.5 | 0 | 0.5 | 1 | 2 |
袋数(袋) | 40 | 30 | 10 | 25 | 40 | 20 | 35 |
(1)求这批面粉的总质量;
(2)如果100kg小麦加工80kg面粉,那么这批面粉是由多少千克小麦加工的?
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【题目】在锐角三角形ABC中,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,且S△ADE= S四边形BEDC , 则∠A=( )
A.75°
B.60°
C.45°
D.30°
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【题目】已知∠ABC=90°,点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合),分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连接QE并延长交BP于点F.
(1)如图1,若AB=,点A,E,P恰好在一条直线上时,求EF的长(直接写出结果);
(2)如图2,当点P为射线BC上任意一点时,求证:BF=EF;
(3)若AB=,设BP=2,求QF的长.
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【题目】如图,△ABC是等边三角形,过点C作CD⊥CB交∠CBA的外角平分线于点D,连接AD,过点C作∠BCE=∠BAD,交AB的延长线于点E.若CD=3,则CE=_____.
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【题目】将含30°角的三角板ABC如图放置,使其三个顶点分别落在三条平行直线上,其中∠ACB=90°,当∠1=60°时,图中等于30°的角的个数是()
A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个
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【题目】如图1,在直角坐标系xoy中,直线l与x、y轴分别交于点A(4,0)、B(0, )两点,∠BAO的角平分线交y轴于点D.点C为直线l上一点,以AC为直径的⊙G经过点D,且与x轴交于另一点E.
(1)求证:y轴是⊙G的切线;
(2)请求⊙G的半径r,并直接写出点C的坐标;
(3)如图2,若点F为⊙G上的一点,连接AF,且满足∠FEA=45°,请求出EF的长?
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