Question

【题目】定义：有两条边长的比值为 的直角三角形叫“潜力三角形”．如图，在△ABC中，∠B=90°，D是AB的中点，E是CD的中点，DF∥AE交BC于点F．

（1）设“潜力三角形”较短直角边长为a，斜边长为c，请你直接写出 的值为；
（2）若∠AED=∠DCB，求证：△BDF是“潜力三角形”；
（3）若△BDF是“潜力三角形”，且BF=1，求线段AC的长．

Answer 1

【答案】
（1）2或
（2）

解：证明：延长AE交BC于G，如图所示：

∵DF∥AE，D是AB的中点，

∴∠AED=∠CDF，BF=GF，

∵∠AED=∠DCB，

∴∠CDF=∠DCB，

∴DF=CF，

∵DF∥AE，E是CD的中点，

∴CG=GF，

∴BF=GF=CG，

∴DF=CF=2GF=2BF，

∴ = ，

又∵∠B=90°，

∴△BDF是“潜力三角形”；

（3）

解：分四种情况：

①当 = 时，

∵BF=1，

∴GF=CG=BF=1，BD=2，

∴AB=2BD=4，BC=3，

∴AC= = =5；

②当 = 时，DF=2BF=2，

∴BD= = = ，

∴AB=2BD=2 ，

∵BC=3，∠B=90°，

∴AC= = = ；

③当 = 时，BD= BF= ，

∴AB=2BD=1，

∵BC=3，∠B=90°，

∴AC= = = ；

④当 = 时，

设BD=x，则DF=2x，

由勾股定理得：（2x）2﹣x2=12，

解得：x= ，

∴AB=2BD= ，

∵BC=3，∠B=90°，

∴AC= = = ；

综上所述：若△BDF是“潜力三角形”，且BF=1，线段AC的长为5或 或 或 ．

【解析】（1）解：分两种情况：
①当 = 时， =2；
②设另一条直角边长为b，当 = 时，b=2a，
∵∠B=90°，
∴c= = a，
∴ = ；
所以答案是：2或 ；
【考点精析】通过灵活运用三角形的“三线”，掌握1、三角形角平分线的三条角平分线交于一点(交点在三角形内部，是三角形内切圆的圆心，称为内心);2、三角形中线的三条中线线交于一点(交点在三角形内部，是三角形的几何中心，称为中心);3、三角形的高线是顶点到对边的距离；注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内即可以解答此题．