Question

3．如图所示，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6，CD=4，BD=k，点P在BD上移动，保持∠APC=90°，但不与点B和点D重合．
（1）当k=14时，请问在BD上存在多少个P点，使以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似？并求BP的长．
（2）已知在BD上至少存在一个P点，使以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设出BP=xcm，由BD-BP=PD表示出PD的长，①若△ABP∽△PDC；②若△ABP∽△CDP；根据相似三角形的对应边成比例可得比例式，把各边的长代入即可列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为PB的长．
（2）由（1）①得出$\frac{6}{14-x}=\frac{x}{4}$，整理得：x²-14x+24=0，由根的判别式≥0即可得出结果．

解答 解：（1）由AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，
设BP=xcm，则PD=（14-x）cm，
①若△ABP∽△PDC，
则$\frac{AB}{PD}=\frac{BP}{CD}$，即$\frac{6}{14-x}=\frac{x}{4}$，
整理得：x²-14x+24=0，
解得：x₁=2，x₂=12，
所以BP=2cm或12cm时，△ABP∽△PDC；
②若△ABP∽△CDP，
则$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{DP}$，即$\frac{6}{4}=\frac{x}{14-x}$，
解得：x=8.4，
∴BP=8.4cm，
综上，BP=2cm或12cm或8.4cm时，△ABP∽△PDC．
即在BD上存在3个P点，使以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似，BP的长为8.4cm或12cm或2cm．
（2）由（1）①得：若△ABP∽△PDC，
则$\frac{AB}{PD}=\frac{BP}{CD}$，即$\frac{6}{k-x}=\frac{x}{4}$，
整理得：x²-kx+24=0，
当△=k²-96≥0（k＞0）时，k≥4$\sqrt{6}$，
∴在BD上至少存在一个P点，使以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似，k的取值范围为k≥4$\sqrt{6}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及动点问题；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键，注意分类讨论．