Question

11．已知：抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴，M为它的顶点
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求△MCB的面积；
（3）设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC最小时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先求出直线BC与对称轴的交点，即可得出MN，再用面积之和即可得出结论；
（3）先根据抛物线的对称性，判断出点P是直线BC与抛物线的对称轴l的交点，根据（2）直接得出点P坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3a+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的函数关系式为y=-x²+2x+3；
（2）如图1，
由（1）知，抛物线的函数关系式为y=-x²+2x+3；
∴抛物线的对称轴为x=1，M（1，4），
∵B（3，0）、C（0，3），
∴直线BC解析式为y=-x+3，
当x=1时，y=2，
∴N（1，2）．
∴MN=2，OB=3，
∴S_△MCB=S_△MNC+S_△MNB=$\frac{1}{2}$MN×OB=$\frac{1}{2}$×2×3=3；
（3）如图2，∵直线l是抛物线的对称轴，且A，B是抛物线与x轴的交点，
∴点A，B关于直线l对称，
∴PA+PC最小时，点P就是直线BC与直线l的交点，
由（2）知，抛物线与直线BC的交点坐标为（1，2），
∴点P（1，2）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的计算方法，对称的性质，解本题的关键是确定出抛物线的解析式，是一道比较简单数形结合的试题．