Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为， 以为圆心，以为半径的圆与轴相交于点，与轴正半轴相交于点过作，点为弦上一点，连接．

（1）求的长度；

（2）求证；直线是⊙的切线；

（3）若点是弧上一动点(点与点不重合)，过点的的切线交轴于，若为直角三角形，试求出所有符合条件的点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见详解；（3）所有符合条件的点P的坐标是（-4，2），（4，2），（，4），（，4）．

【解析】

（1）根据勾股定理可以求得OB和OC的长度，从而可以得到B、C两点的坐标，即可得到答案；
（2）由，∠AOC=90°，则∠OAE=90°，由MA为半径，则AE是切线；
（3）根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法可以得到点P的坐标．

解：（1）连接MB、MC，如图一所示，

∵点M的坐标为（0，2），以M为圆心，以4为半径的圆与x轴相交于点B、C，
∴MB=MC=4，OM=2，
∵∠MOB=∠MOC=90°，
∴OB=，
∴OC=，
∴点B的坐标为（，0），点C的坐标为（，0），

∴；

（2）∵，∠AOC=90°，

∴，

∵圆M与轴正半轴相交于点，即MA为半径，

∴AE是⊙M的切线；

（3）当△BP1G是直角三角形时，如图二所示，

∵MA=MP1=4，点M的坐标为（0，2），
∴点P1的坐标为（-4，2）；
当△BP2G是直角三角形时，如图二所示，
∵MA=MP2=4，点M的坐标为（0，2），
∴点P2的坐标为（4，2）；

当△BP3G是直角三角形时，如图三所示，

∵OB=，OM=2，
∴tan∠MBO=，
∴∠MBO=30°，
∴∠MBP3=60°，
∵BM=MP3，
∴△BMP3是等边三角形，

∴BP3=4，
∴点P3的坐标为（，4）；
当△BP4G是直角三角形时，如图三所示，
∵BP4=8，∠P4BG=30°时，
∴点P4的纵坐标是：8×sin30°=8×=4，

横坐标是：+8×cos30°=+8×=，
∴点P4的坐标为（，4）；
由上可得，若△BPG为直角三角形，所有符合条件的点P的坐标是（-4，2），（4，2），（，4），（，4）．