Question

18．如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于P．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠PBQ的度数．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=∠C=60°，然后利用“边角边”即可证明两三角形；
（2）由SAS可得△ABE≌△CAD，进而得出对应角相等，再通过角之间的转化即可求解∠BPD的度数，进而求得结论．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
在△ABE与△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAC=∠C=60°}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；

（2）由（1）知△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°．
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=30°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握这两个性质是解决问题的关键．