Question

18．如图直线l₁，l₂交于C点，直线l₁与x轴交于A，直线l₂与x轴交于B（3，0），与y轴于D（0，3），已知直线l₁的函数解析式为y=2x+2．
（1）求直线l₂的解析式和交点C的坐标；
（2）将直线l₁向下平移a个单位使之经过B，与y轴交于E，
①求△CBE的面积；
②若点Q为y轴上一动点，当△EBQ为等腰三角形，求出Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）设直线l₂的解析式为y=kx+b，结合点B、D的坐标利用待定系数法即可求出直线l₂的解析式；联立直线l₁、l₂的解析式成方程组，解方程组即可求出交点C的坐标；
（2）①根据平移的性质找出直线l₁平移后的解析式为y=2x+2-a，根据点B在该直线上即可求出a值，从而得出平移后的直线的解析式，将x=0代入该解析式中即可求出点E的坐标，令CE与x轴的交点为点F，根据点C、E的坐标利用待定系数法即可求出CE所在直线的解析式，将y=0代入该解析式中即可求出点F的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△CBE的面积；
②设点Q的坐标为（0，m），结合点B、E的坐标即可得出EQ、BE、BQ的长度，分BE=BQ、EQ=EB和QE=QB三种情况考虑，由此即可得出关于m的方程，解方程即可求出m值，从而得出点Q的坐标．

解答 解：（1）设直线l₂的解析式为y=kx+b，
将点B（3，0）、D（0，3）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+b}\\{3=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线l₂的解析式位y=-x+3．
联立直线l₁、l₂的解析式：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y=2x+2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴交点C的坐标为（$\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}$）．
（2）①直线l₁向下平移a个单位后的解析式为y=2x+2-a，
∵点B（3，0）在直线y=2x+2-a上，
∴0=2×3+2-a，解得：a=8，
∴直线l₁平移后的解析式为y=2x-6．
令y=2x-6中x=0，则y=-6，
∴E（0，-6）．
令CE与x轴的交点为点F，如图1所示．
设CE所在的直线解析式为y=kx-6，
将C（$\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}$）代入y=kx-6中，
得：$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{3}$k-6，解得：k=26，
∴CE所在的直线解析式为y=26x-6．
令y=26x-6中y=0，则x=$\frac{3}{13}$，
∴F（$\frac{3}{13}$，0），
∴S_△CEB=$\frac{1}{2}$BF•y_C+$\frac{1}{2}$BF•|y_E|=$\frac{1}{2}$×（3-$\frac{3}{13}$）×[$\frac{8}{3}$-（-6）]=12．
②设点Q的坐标为（0，m），
∵E（0，-6），B（3，0），
∴EQ=|m-（-6）|=|m+6|，BE=$\sqrt{（0-3）^{2}+（-6-0）^{2}}$=3$\sqrt{5}$，BQ=$\sqrt{（0-3）^{2}+（m-0）^{2}}$=$\sqrt{9+{m}^{2}}$．
△EBQ为等腰三角形分三种情况（如图2所示）：
（i）当BE=BQ时，有3$\sqrt{5}$=$\sqrt{9+{m}^{2}}$，
解得：m₁=6，m₂=-6（舍去），
此时点Q的坐标为（0，6）；
（ii）当EQ=EB时，有|m+6|=3$\sqrt{5}$，
解得：m₃=3$\sqrt{5}$-6，m₄=-3$\sqrt{5}$-6，
此时点Q的坐标为（0，3$\sqrt{5}$-6）和（0，-3$\sqrt{5}$-6）；
（iii）当QE=QB时，有|m+6|=$\sqrt{9+{m}^{2}}$，
解得：m₅=-$\frac{27}{12}$，
此时点Q的坐标为（0，-$\frac{27}{12}$）．
综上所述：当△EBQ为等腰三角形，点Q的坐标为（0，6）、（0，3$\sqrt{5}$-6）、（0，-3$\sqrt{5}$-6）或（0，-$\frac{27}{12}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、解二元一次方程组、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出直线l₂的解析式；（2）①求出点E、F的坐标；②分三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．