Question

7．如图，正方形ABCD中，C（-3，0），D（0，4），过A点作AF⊥y轴于F点，过B点作x轴的垂线交过A点的反比例函数的图象于E点，交x轴于G点．
（1）求证：△CDO≌△DAF；
（2）求点E的坐标；
（3）如图2，过点C作直线l∥AE，在直线l上是否存在一点P，使△PAC是等腰三角形？若存在，求P点坐标，不存在说明理由．[提示：若坐标平面上两点A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则两点之间的距离是AB=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$]．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质AD=CD，∠ADC=90°，再利用等角的余角相等得到∠DAF=∠CDO，于是可根据“AAS”证明△CDO≌△DAF；
（2）由于△CDO≌△DAF，根据全等的性质得AF=OD=4，DF=OC=3，则A点坐标为（-4，7），再利用待定系数法可求出反比例函数解析式为y=-$\frac{28}{x}$；与（1）中的方法一样可证明△CDO≌△BGC，得到CG=OD=4，则得到E点的横坐标为-7，然后利用反比例函数解析式可确定E点坐标；
（3）如图2，作AH⊥x轴于H，在Rt△ACH中，根据勾股定理得到AC²=50，利用待定系数法求出直线AE的解析式为y=x+11，由于直线l∥AE，则直线l的解析式为设为y=x+b，然后分别从当CP=CA时，当PC=PA时，去分析求解即可求得答案．

解答 （1）证明：如图1，
∵C（-3，0），D（0，4），
∴OC=3，OD=4，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠CDO=90°，
∵AF⊥y轴，
∴∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠DAF=∠CDO，
在△CDO和△DAF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DOC=∠AFD}\\{∠CDO=∠DAF}\\{CD=DA}\end{array}\right.$，
∴△CDO≌△DAF；

（2）解：如图1，
∵△CDO≌△DAF，
∴AF=OD=4，DF=OC=3，
∴OF=OD+DF=3+4=7，
∴A点坐标为（-4，7），
设反比例函数解析式为y=$\frac{k}{x}$，
把A（-4，7）代入y=$\frac{k}{x}$，
得k=-4×7=-28，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{28}{x}$，
与（1）中的方法一样可证明△CDO≌△BGC，
∴CG=OD=4，
∴OG=OC+CG=7，
∴E点的横坐标为-7，
把x=-7代入y=-$\frac{28}{x}$，
得y=4，
∴E点坐标为（-7，4）；
（3）解：存在．
如图2，作AH⊥x轴于H，
在Rt△ACH中，AH=7，CH=1，则AC²=7²+1²=50，
设直线AE的解析式为y=mx+n，
把A（-4，7）和E（-7，4）代入y=mx+n，
得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=7}\\{-7k+b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=11}\end{array}\right.$，
∴直线AE的解析式为y=x+11，
∵直线l∥AE，
∴直线l的解析式为设为y=x+b，
把C（-3，0）代入得-3+b=0，解得b=3，
∴直线l的解析式为设为y=x+3，
设P点坐标为（t，t+3），
∴AP²=（t+4）²+（t-4）²，CP²=（t+3）²+（t+3）²，
当CP=CA时，（t+3）²+（t+3）²=50，解得t₁=2，t₂=-8，此时P点坐标为（2，5）或（-8，-5）；
当AP=AC时，（t+4）²+（t-4）²=50，解得t₁=3，t₂=-3（舍去），此时P点坐标为（3，6）；
当PC=PA时，（t+3）²+（t+3）²=（t+4）²+（t-4）²，解得t=$\frac{7}{6}$，此时P点坐标为（$\frac{7}{6}$，$\frac{25}{6}$），
综上所述，满足条件的P点坐标为（2，5）或（-8，-5）或（3，6）或（$\frac{7}{6}$，$\frac{25}{6}$）．

点评 此题属于反比例函数的综合题．考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、正方形的性质和三角形全等的判定与性质．注意掌握待定系数法求函数解析式和利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．