Question

如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB²=AF•AC，cos∠ABD=，AD=12．
（1）求证：△ANM≌△ENM；
（2）试探究：直线FB与⊙O相切吗？请说明理由．
（3）探究四边形AMEN的形状，并求该四边形的面积S．

Answer 1

【答案】分析：（1）由条件可以得出∠BAC=90°，由 ME⊥BC于点E可以得出∠BEM=90°，而 BM平分∠ABC交AC于点M，可以得出AM=ME，∠AMN=∠EMN，最后利用SAS可以得出结论．
（2）直线FB与⊙O相切．由AB²=AF•AC可以得出△BAF∽△CAB，从而得出∠FBA=∠C，可以得出∠FBC=90°，进而得出结论．
（3）四边形AMEN是菱形，由（1）△ANM≌△ENM可以得出AN=EN  AM=EM，∠ANM=∠ENM，由AD⊥BC，ME⊥BC可以得出AD∥ME，进而得到∠ANM=∠NME，有∠ENM=∠NME，得出EN=EM，得出AN=NE=EM=MA，得出结论．有条件cos∠ABD=，AD=12．可以求出AB=15 BD=9   BC=25，由勾股定理可以求出AC=20．由FB是⊙O的切线，得出FB∥ME，从而得出∠FBM=∠BME=∠FMB有FB=FM．通过AB²=AF•AC可以求出AF的值．由∠F=∠ABC，由cos∠F=，可以求出BF的值，从而求出AM的值，过M作MG⊥AD于G，则，就可以求出DC和MG的值，从而求出其面积．
解答：（1）证明：∵BC是直径，
∴∠BAC=90°．
∵ME⊥BC，
∴∠BEM=90°．
∴∠BAC=∠BEM．
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠EBM．
∴∠AMB=∠EMB，AM=EM．
∵BM是公共边，
∴△ANM≌△ENM（SAS）．
（2）解：直线FB与⊙O相切．
∵AB²=AF•AC，
∴，
∵∠BAF=∠BAC=90°，
∴△BAF∽△CAB，
∴∠FBA=∠C，
∴∠FBA+∠ABC=∠C+∠ABC=90°，
即FB⊥BC．
∵B是⊙O上一点，
∴直线FB与⊙O相切．
（3）解：四边形AMEN是菱形．
∵△ANM≌△ENM，
∴AN=EN  AM=EM，∠ANM=∠ENM
∵AD⊥BC，ME⊥BC，
∴AD∥ME，
∴∠ANM=∠NME
∴∠ENM=∠NME，
∴EN=EM，
∴AN=NE=EM=MA，
∴四边形AMEN是菱形．
∵cos∠ABD=，AD=12，
∴AB=15 BD=9   BC=25，
∴AC=
∵FB是⊙O的切线，
∴FB∥ME，
∴∠FBM=∠BME=∠FMB，
∴FB=FM．
∵AB²=AF•AC，
∴AF=，
∵∠F+∠C=∠ABC+∠C=90°，
∴cos∠F=cos∠ABD=，
解得FB=，
∴AM=．

过M作MG⊥AD于G，则．
∵DC=25-9=16，
∴MG=6．
∴S=6×7.5=45．
点评：本题是一道圆的综合题，考查了三角形全等的运用，圆的切线的判定，菱形的判定及性质的运用，勾股定理的运用以及菱形面积的计算．