Question

将等边三角形纸片ABC折叠，使点A落在对边BC上的点D处，折痕交AB于点E，交AC于点F．
（1）如图1，当BD=CD时，求证：AE=AF；
（2）如图2，当

BD

CD

=

1

2

时，求

AE

AF

的值；
（3）若

BD

CD

=

m

n

，请直接写出

AE

AF

的值（不需要过程）．

Answer 1

分析：（1）连接AD，根据”三线合一“就得出∠DAE=∠DAF=30°，由轴对称可以得出AE=ED，AF=DF，进而可以得出△AED≌△AFD即可；
（2）由条件可以得出△BDE∽△CFD，设BD=x，CD=2x，就有BC=AB=AC=3x，设AE=DE=k，BE=3x-k，根据相似三角形的性质就可以表示出C、DF，再根据CF+DF=3x就可以求出x与k的数量关系，从而求出结论；
（3）由条件可以得出△BDE∽△CFD，设BD=mx，CD=nx，就有BC=AB=AC=mx+nx，设AE=DE=k，BE=mx+nx-k，根据相似三角形的性质就可以表示出C、DF，再根据CF+DF=mx+nx就可以求出x与k的数量关系，从而求出结论；

解答：解：（1）连接AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°．
∵BD=CD，
∴∠DAE=∠DAF=30°．
∵△AEF与△DEF关于EF对称，
∴AE=DE，AF=DF，
∴∠EDA=∠EAD=30°，∠FAD=∠FDA=30°，
∴∠EDA=∠EAD=∠FAD=∠FDA．
在△AED和△AFD中，

∠EDA=∠FDA AD=AD ∠EAD=∠FAD

，
∴△AED≌△AFD（ASA），
∴AE=AF；

（2）∵△AEF与△DEF关于EF对称，
∴AE=DE，AF=DF，∠A=∠EDF=60°
∴∠BDE+∠CDF=120°．
∵∠BDE+∠BED=120°，
∴∠BED=∠CDF．
∵∠B=∠C，
∴△BDE∽△CFD，
∴

BD

CF

=

BE

CD

=

DE

FD

，
设BD=x，CD=2x，就有BC=AB=AC=3x，设AE=DE=k，BE=3x-k，
∴

x

CF

=

3x-k

2x

，
∴CF=

2x2

3x-k

．
∴

3x-k

2x

=

k

DF

，
∴DF=

2xk

3x-k

．
∵DF+CF=CF+AF=3x，
∴

2x2

3x-k

+

2xk

3x-k

=3x，
k=

7

5

x．
∴DF=

2x• 7 5 x

3x- 7 5 x

=

7

4

x，
∴

DE

DF

=

AE

AF

=

4

5

；
答：

AE

AF

的值为

4

5

；
（3））∵△AEF与△DEF关于EF对称，
∴AE=DE，AF=DF，∠A=∠EDF=60°
∴∠BDE+∠CDF=120°．
∵∠BDE+∠BED=120°，
∴∠BED=∠CDF．
∵∠B=∠C，
∴△BDE∽△CFD，
∴

BD

CF

=

BE

CD

=

DE

FD

，
设BD=mx，CD=nx，就有BC=AB=AC=mx+nx，设AE=DE=k，BE=mx+nx-k，
∴

mx

CF

=

mx+nx-k

nx

，
∴CF=

mnx2

mx+nx-k

．
∵

mx+nx-k

nx

=

k

DF

，
∴DF=

knx

mx+nx-k

．
∵CF+DF=CF+AF=mx+nx，
∴

mnx2

mx+nx-k

+

knx

mx+nx-k

=mx+nx，
∴k=

m2x+n2x+mnx

2n+m

，
∴DF=

m2x+n2x+mnx 2n+m •nx

mx+nx- m2x+n2x+mnx 2n+m

=

(m2+n2+mn)x

2m+n

．
∴

DE

DF

=

AE

AF

=

m2x+n2x+mnx 2n+m

(m2+n2+mn)x 2m+n

=

2m+n

2n+m

．
答：

AE

AF

的值为

2m+n

2n+m

．

点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，轴对称的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，相似三角形的判定与性质的运用，解答时运用相似三角形的性质建立方程求解是关键．