Question

已知点A（1，3），B（2，0），点P、Q在y轴上，线段PQ=2．求四边形APQB周长的最小值及此时P、Q的坐标．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,坐标与图形性质

专题：

分析：作A点关于y轴的对称点A′，向下平移2个单位得到A″，连接A″B交y轴于Q，作A′P∥″Q交y轴于P，则此时四边形APQB周长最小；根据轴对称的性质求得A′的坐标，进而求得A″的坐标，根据待定系数法求得直线A″B的解析式，即可求得Q的坐标和P的坐标，根据A、B、P、Q的坐标求得线段PA、BQ、AB的长，根据四边形周长公式即可求得四边形APQB周长．

解答：解：如图，作A点关于y轴的对称点A′，向下平移2个单位得到A″，连接A″B交y轴于Q，作A′P∥″Q交y轴于P，此时四边形APQB周长最小；

∵A（1，3），
∴A″（-1，1），
设直线A″B的解析式为y=kx+b，
∵B（2，0），
∴

-k+b=1 2k+b=0

，解得

k=- 1 3 b= 2 3

，
∴直线A″B的解析式为y=-

1

3

x+

2

3

，
∴Q点的坐标为（0，

2

3

），′
∴P的坐标为（0，

8

3

），
∵A（1，3），B（2，0），P（0，

8

3

），Q（0，

2

3

），
∴PA=

12+(3- 8 3

)2=

10

3

，BQ=

22+( 2 3

)2=

2 10

3

，AB=

(2-1)2+32

=

10

，
∴四边形APQB周长=PA+PQ+QB+AB=

10

3

+2+

2 10

3

+

10

=2

10

+2；

点评：本题考查了轴对称的性质、平行四边形的性质应用、待定系数法以及勾股定理的应用等，题目比较好，有一定的难度．