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【题目】在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EFAB交BD于点F,取FD的中点G,连接EG、CG,如图(1),易证 EG=CG且EGCG

(1)将BEF绕点B逆时针旋转90°,如图(2),则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想.

(2)将BEF绕点B逆时针旋转180°,如图(3),则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想,并加以证明.

【答案】(1)EG=CG,EGCG(2)EGCG见解析

【解析】

试题分析:从图(1)中寻找证明结论的思路:延长FE交DC边于M,连MG.构造出GFE≌△GMC.易得结论;在图(2)、(3)中借鉴此解法证明.

解:(1)EG=CG,EGCG

(2)EG=CG,EGCG

证明:延长FE交DC延长线于M,连MG.

∵∠AEM=90°EBC=90°,BCM=90°

四边形BEMC是矩形.

BE=CMEMC=90°

由图(3)可知,

BD平分ABCABC=90°

∴∠EBF=45°

EFAB

∴△BEF为等腰直角三角形

BE=EFF=45°

EF=CM

∵∠EMC=90°,FG=DG,

MG=FD=FG.

BC=EM,BC=CD,

EM=CD

EF=CM

FM=DM

FG=DG

CMG=EMC=45°

∴∠F=GMC

GFEGMC中,

∴△GFE≌△GMC(SAS).

EG=CGFGE=MGC.

∵∠FMC=90°,MF=MD,FG=DG,

MGFD

∴∠FGE+EGM=90°

∴∠MGC+EGM=90°

EGC=90°

EGCG

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