Question

【题目】如图1，△ABC中，CD为△ABC的中线，点E在CD上，且∠AED＝∠BCD．

（1）求证：AE＝BC．

（2）如图2，连接BE，若AB＝AC＝2DE，∠CBE＝14°，则∠ACD的度数为　 　（直接写出结果），

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）28°．

【解析】

（1）延长CD到F使DF=CD，连接AF，由CD是△ABC的中线，得到AD=BD，推出△ADF≌△BCD，根据全等三角形的性质得到∠F=∠BCD，BC=AF，由等腰三角形的性质，利用等量代换即可得到结论；

（2）根据DE＝AB，CD为△ABC的中线，得DE＝AD＝DB，∠DEB＝∠DBE，可求得∠ABC=∠DEB+14°，并∠DEB＝∠DCB+∠CBE，的∠DCB＝∠DEB﹣14°，利用AC＝AB，得∠ACB＝∠ABC＝∠DEB+14°，即可得∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝28°.

证明：（1）如图1，延长CD到F，使DF＝CD，连接AF，

∵CD为△ABC的中线，

∴AD＝BD，且∠ADF＝∠BDC，且CD＝DF，

∴△ADF≌△BDC（SAS），

∴AF＝BC，∠F＝∠BCD，

∵∠AED＝∠BCD，

∴∠AED＝∠F，

∴AE＝AF，

∴AE＝BC；

（2）

∵DE＝AB，CD为△ABC的中线，

∴DE＝AD＝DB，

∴∠DEB＝∠DBE，

∴∠ABC＝∠DBE+∠CBE＝∠DEB+14°，

∵∠DEB＝∠DCB+∠CBE，

∴∠DCB＝∠DEB﹣14°，

∵AC＝AB，

∴∠ACB＝∠ABC＝∠DEB+14°

∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝（∠DEB+14°）-（∠DEB﹣14°）=28°，

故答案为：28°．