Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，点D（m，m+8）在第二象限，点B（0，n）在y轴正半轴上，作DA⊥x轴，垂足为A，已知OA比OB的值大2，四边形AOBD的面积为12．

（1）求m和n的值．

（2）如图2，C为AO的中点，DC与AB相交于点E，AF⊥BD，垂足为F，求证：AF＝DE．

（3）如图3，点G在射线AD上，且GA＝GB，H为GB延长线上一点，作∠HAN交y轴于点N，且∠HAN＝∠HBO，求NB﹣HB的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）详见解析；（3）NB﹣FB＝4（是定值），即当点H在GB的延长线上运动时，NB﹣HB的值不会发生变化．

【解析】

（1）由点D，点B的坐标和四边形AOBD的面积为12，可列方程组，解方程组即可；

（2）由（1）可知，AD＝OA＝4，OB＝2，并可求出AB＝BD＝，利用SAS可证△DAC≌△AOB，并可得∠AEC＝90°，利用三角形面积公式即可求证；

（3）取OC＝OB，连接AC，根据对称性可得∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，证明△ABH≌△CAN，即可得到结论.

解：（1）由题意

解得；

（2）如图2中，

由（1）可知，A（﹣4，0），B（0，2），D（﹣4，4），

∴AD＝OA＝4，OB＝2，

∴由勾股定理可得：AB＝BD＝，

∵AC＝OC＝2，

∴AC＝OB，

∵∠DAC＝∠AOB＝90°，AD＝OA，

∴△DAC≌△AOB（SAS），

∴∠ADC＝∠BAO，

∵∠ADC+∠ACD＝90°，

∴∠EAC+∠ACE＝90°，

∴∠AEC＝90°，

∵AF⊥BD，DE⊥AB，

∴S△ADB＝ABAE＝BDAF，

∵AB＝BD，

∴DE＝AF．

（3）解：如图，取OC＝OB，连接AC，根据对称性可得∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，

∵AG＝BG，

∴∠GAB＝∠GBA，

∵G为射线AD上的一点，

∴AG∥y轴，

∴∠GAB＝∠ABC，

∴∠ACB＝∠EBA，

∴180°﹣∠GBA＝180°﹣∠ACB，

即∠ABG＝∠ACN，

∵∠GAN＝∠GBO，

∴∠AGB＝∠ANC，

在△ABG与△ACN中，

，

∴△ABH≌△ACN（AAS），

∴BF＝CN，

∴NB﹣HB＝NB﹣CN＝BC＝2OB，

∵OB＝2

∴NB﹣FB＝2×2＝4（是定值），

即当点H在GB的延长线上运动时，NB﹣HB的值不会发生变化．