Question

先阅读下面的材料再完成下列各题
我们知道，若二次函数y=ax²+bx+c对任意的实数x都有y≥0，则必有a＞0，△=b²-4ac≤0；例如y=x²+2x+1=（x+1）²≥0，则△=b²-4ac=0，y=x²+2x+2=（x+1）²+1＞0，则△=b²-4ac＜0．
（1）求证：（a₁²+a₂²+…+a_n²）•（b₁²+b₂²+…+b_n²）≥（a₁•b₁+a₂•b₂+…+a_n•b_n）²
（2）若x+2y+3z=6，求x²+y²+z²的最小值；
（3）若2x²+y²+z²=2，求x+y+z的最大值；
（4）指出（2）中x²+y²+z²取最小值时，x，y，z的值（直接写出答案）．

Answer 1

分析：（1）首先构造二次函数：f（x）=（a₁x+b₁）²+（a₂x+b₂）²+…+（a_nx+b_n）²=（a₁²+a₂²+…+a_n²）x²+2（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）x+（b₁²+b₂²+…+b_n²），由（a₁x+b₁）²+（a₂x+b₂）²+…+（a_nx+b_n）²≥0，即可得f（x）≥0，可得△=4（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²-4（a₁²+a₂²+…+a_n²）（b₁²+b₂²+…+b_n²）≤0，整理即可证得：（a₁²+a₂²+…+a_n²）•（b₁²+b₂²+…+b_n²）≥（a₁•b₁+a₂•b₂+…+a_n•b_n）²；
（2）利用（1）可得：（1+4+9）（x²+y²+z²）≥（x+2y+3z）²，又由x+2y+3z=6，整理求解即可求得答案；
（3）利用（1）可得：（2x²+y²+z²）（

1

2

+1+1）≥（x+y+z）²，又由2x²+y²+z²=2，整理求解即可求得答案；
（4）因为当且仅当

a1

b1

=

a2

b2

=…=

an

bn

时等号成立，即可得当且仅当x=

y

2

=

z

3

时，x²+y²+z²取最小值，又由x+2y+3z=6，即可求得答案．

解答：解：（1）构造二次函数：f（x）=（a₁x+b₁）²+（a₂x+b₂）²+…+（a_nx+b_n）²=（a₁²+a₂²+…+a_n²）x²+2（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）x+（b₁²+b₂²+…+b_n²）≥0，
∴△=4（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²-4（a₁²+a₂²+…+a_n²）（b₁²+b₂²+…+b_n²）≤0，
即：（a₁²+a₂²+…+a_n²）•（b₁²+b₂²+…+b_n²）≥（a₁•b₁+a₂•b₂+…+a_n•b_n）²，
当且仅当

a1

b1

=

a2

b2

=…=

an

bn

时等号成立；

（2）根据（1）可得：（1+4+9）（x²+y²+z²）≥（x+2y+3z）²，
∵x+2y+3z=6，
∴14（x²+y²+z²）≥36，
∴x²+y²+z²≥

18

7

；
∴若x+2y+3z=6，则x²+y²+z²的最小值为

18

7

；

（3）根据（1）可得：（2x²+y²+z²）（

1

2

+1+1）≥（x+y+z）²，
∵2x²+y²+z²=2，
∴（x+y+z）²≤2×

5

2

=5，
∴-

5

≤x+y+z≤

5

，
∴若2x²+y²+z²=2，则x+y+z的最大值为

5

；

（4）∵当且仅当x=

y

2

=

z

3

时，x²+y²+z²取最小值，
设x=

y

2

=

z

3

=k，
则x=k，y=2k，z=3k，
∵x+2y+3z=6，
∴k+4k+9k=6，
解得：k=

3

7

，
∴当x²+y²+z²取最小值时，x=

3

7

，y=

6

7

，z=

9

7

．

点评：此题考查了二次函数的综合应用．此题难度较大，解题的关键是根据题意构造二次函数f（x）=（a₁x+b₁）²+（a₂x+b₂）²+…+（a_nx+b_n）²=（a₁²+a₂²+…+a_n²）x²+2（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）x+（b₁²+b₂²+…+b_n²），然后利用判别式求解．