先阅读下面的材料再完成下列各题
我们知道,若二次函数y=ax2+bx+c对任意的实数x都有y≥0,则必有a>0,△=b2-4ac≤0;例如y=x2+2x+1=(x+1)2≥0,则△=b2-4ac=0,y=x2+2x+2=(x+1)2+1>0,则△=b2-4ac<0.
(1)求证:(a12+a22+…+an2)•(b12+b22+…+bn2)≥2
(2)若x+2y+3z=6,求x2+y2+z2的最小值;
(3)若2x2+y2+z2=2,求x+y+z的最大值;
(4)指出(2)中x2+y2+z2取最小值时,x,y,z的值(直接写出答案).
【答案】
分析:(1)首先构造二次函数:f(x)=(a
1x+b
1)
2+(a
2x+b
2)
2+…+(a
nx+b
n)
2=(a
12+a
22+…+a
n2)x
2+2(a
1b
1+a
2b
2+…+a
nb
n)x+(b
12+b
22+…+b
n2),由(a
1x+b
1)
2+(a
2x+b
2)
2+…+(a
nx+b
n)
2≥0,即可得f(x)≥0,可得△=4(a
1b
1+a
2b
2+…+a
nb
n)
2-4(a
12+a
22+…+a
n2)(b
12+b
22+…+b
n2)≤0,整理即可证得:(a
12+a
22+…+a
n2)•(b
12+b
22+…+b
n2)≥(a
1•b
1+a
2•b
2+…+a
n•b
n)
2;
(2)利用(1)可得:(1+4+9)(x
2+y
2+z
2)≥(x+2y+3z)
2,又由x+2y+3z=6,整理求解即可求得答案;
(3)利用(1)可得:(2x
2+y
2+z
2)(
+1+1)≥(x+y+z)
2,又由2x
2+y
2+z
2=2,整理求解即可求得答案;
(4)因为当且仅当
=…=
时等号成立,即可得当且仅当x=
=
时,x
2+y
2+z
2取最小值,又由x+2y+3z=6,即可求得答案.
解答:解:(1)构造二次函数:f(x)=(a
1x+b
1)
2+(a
2x+b
2)
2+…+(a
nx+b
n)
2=(a
12+a
22+…+a
n2)x
2+2(a
1b
1+a
2b
2+…+a
nb
n)x+(b
12+b
22+…+b
n2)≥0,
∴△=4(a
1b
1+a
2b
2+…+a
nb
n)
2-4(a
12+a
22+…+a
n2)(b
12+b
22+…+b
n2)≤0,
即:(a
12+a
22+…+a
n2)•(b
12+b
22+…+b
n2)≥(a
1•b
1+a
2•b
2+…+a
n•b
n)
2,
当且仅当
=…=
时等号成立;
(2)根据(1)可得:(1+4+9)(x
2+y
2+z
2)≥(x+2y+3z)
2,
∵x+2y+3z=6,
∴14(x
2+y
2+z
2)≥36,
∴x
2+y
2+z
2≥
;
∴若x+2y+3z=6,则x
2+y
2+z
2的最小值为
;
(3)根据(1)可得:(2x
2+y
2+z
2)(
+1+1)≥(x+y+z)
2,
∵2x
2+y
2+z
2=2,
∴(x+y+z)
2≤2×
=5,
∴-
≤x+y+z≤
,
∴若2x
2+y
2+z
2=2,则x+y+z的最大值为
;
(4)∵当且仅当x=
=
时,x
2+y
2+z
2取最小值,
设x=
=
=k,
则x=k,y=2k,z=3k,
∵x+2y+3z=6,
∴k+4k+9k=6,
解得:k=
,
∴当x
2+y
2+z
2取最小值时,x=
,y=
,z=
.
点评:此题考查了二次函数的综合应用.此题难度较大,解题的关键是根据题意构造二次函数f(x)=(a
1x+b
1)
2+(a
2x+b
2)
2+…+(a
nx+b
n)
2=(a
12+a
22+…+a
n2)x
2+2(a
1b
1+a
2b
2+…+a
nb
n)x+(b
12+b
22+…+b
n2),然后利用判别式求解.