Question

已知△ABC中，∠ABC=90゜，AB=BC，点A、B分别是x轴和y轴上的一动点．

（1）如图1，若点C的横坐标为4，求点B的坐标；
（2）如图2，BC交x轴于D，AD平分∠BAC，若点C的纵坐标为3，A（5，0），求点D的坐标．
（3）如图3，分别以OB、AB为直角边在第三、四象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，EF交y轴于M，求 S_△BEM：S_△ABO．

Answer 1

(1) B（0，-4）;(2) D（-1，0）;(3) S_△BEM：S_△ABO=1：2.

试题分析：(1)一般情况下,给了一个点的横坐标,都把这个点的横坐标作出来, 作CM⊥y轴于点M，要想求出B点坐标,只需要求出线段OB的长度,直观上看△BCM≌△ABO ,找全等的条件,因为∠ABC=∠AOB=90゜，
所以∠CBM+∠ABO=90°，∠ABO+∠OAB=90°，所以∠CBM=∠BAO，再由题目中的条件,全等的条件已经够了,在△BCM和△ABO中,∠CBM=∠BAO,∠BMC=∠AOB=90゜，AB=BC,所以△BCM≌△ABO（AAS），OB=CM=4，
B（0，-4）;(2)要想求出D点坐标,只需要求出线段OD的长度,但条件中与OD关联的条件很少,考虑作辅助线,作CM⊥x轴于点M，交AB的延长线于点N，则∠AMC=∠AMN=90°，因为点C的纵坐标为3，所以CM=3，
因为AD平分∠CAB，所以∠CAM=∠NAM，所以△AMC≌△AMN（ASA），所以CM=MN=3，CN=6，因为CM⊥AD，∠CBA=90°，所以∠CBN=∠CMD=∠ABD=90°，因为∠CDM=∠BDA，∠CMD+∠CDM+∠NCB=180°，∠BDA+∠BAD+∠DBA=180°，所以∠NCB=∠BAD，所以△CBN≌△ABD（ASA），所以AD=6，因为A（5，0），D（-1，0）;(3)作EN⊥y轴于点N，因为∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，所以∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°，
所以∠NBE=∠BAO，所以△ABO≌△BEN（AAS），所以△ABO的面积=△BEN的面积，OB=NE=BF，因为∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°，所以△BFM≌△NEM（AAS），所以BM=NM，因为△BME边BM上的高和△NME的边MN上的高相等，所以S_△BEN=S_△BEM=S_△BEN=S_△ABO，即S_△BEM：S_△ABO=1：2．S_△BEM：S_△ABO=1：2.
试题解析：
（1）如图1，作CM⊥y轴于点M，则CM=4，

∵∠ABC=∠AOB=90゜，
∴∠CBM+∠ABO=90°，∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠CBM=∠BAO，
在△BCM和△ABO中,∠CBM=∠BAO,∠BMC=∠AOB=90゜，AB=BC,
∴△BCM≌△ABO（AAS），
∴OB=CM=4，
∴B（0，-4）．
（2）如图2，作CM⊥x轴于点M，交AB的延长线于点N，

则∠AMC=∠AMN=90°，
∵点C的纵坐标为3，
∴CM=3，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAM=∠NAM，
在△CAM和△NAM中,∠AMC=∠AMN=90°,AM=AM,∠CAM=∠NAM，
∴△AMC≌△AMN（ASA），
∴CM=MN=3，
∴CN=6，
∵CM⊥AD，∠CBA=90°，
∴∠CBN=∠CMD=∠ABD=90°，
∵∠CDM=∠BDA，∠CMD+∠CDM+∠NCB=180°，∠BDA+∠BAD+∠DBA=180°，
∴∠NCB=∠BAD，
在△CBN和△ABD中,∠CBN=∠ABD,CB=AB,∠NCB=∠BAD,
∴△CBN≌△ABD（ASA），
∴AD=CN=2CM=6，
∵A（5，0），
∴D（-1，0）．
（3）如图3，作EN⊥y轴于点N，

∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，
∴∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠NBE=∠BAO，
在△ABO和△BEN中,∠ENB=∠BOA,∠NBE=∠BAO，AB=BE,
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴△ABO的面积=△BEN的面积，OB=NE=BF，
∵∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°，
∴在△BFM和△NEM中, ∠FBM=∠BNE ,∠BMF=∠NME,NE=BF,
∴△BFM≌△NEM（AAS），
∴BM=NM，
∵△BME边BM上的高和△NME的边MN上的高相等，
∴S_△BEN=S_△BEM=S_△BEN=S_△ABO，
即S_△BEM：S_△ABO=1：2．