Question

16．如图所示：在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边，在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF．
（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；
（2）探究下列问题：（只填条件，不需证明）
①当∠BAC满足∠BAC=150°条件时，四边形DAEF是矩形；
②当∠BAC满足∠BAC=60°条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在；
③当△ABC满足∠BAC=150°且AB=AC条件时，四边形DAEF是正方形．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出AC=CE=AE，AB=AD=BD，BC=CF=BF，∠BCF=∠ACE=60°，求出∠BCA=∠FCE，证△BCA≌△FCE，得出EF=BA=AD，同理DF=AC=AE，即可得出结论；
（2）①求出∠DAE的度数，根据矩形的判定得出即可；
②证出D、A、E三点共线，即可得出结论；
③由①得出四边形DAEF是矩形；再由AB=AC≠BC得出四边形DAEF是菱形，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵△ABD、△BCE、△ACE是等边三角形，
∴AC=CE=AE，AB=AD=BD，BC=CF=BF，∠BCF=∠ACE=60°，
∴∠BCA=∠FCE=60°-∠ACF，
在△BCA和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CF}&{\;}\\{∠BCA=∠FCE}&{\;}\\{AC=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCA≌△FCE（SAS），
∴EF=BA=AD，
同理：DF=AC=AE，
∴四边形DAEF是平行四边形；
（2）解：①当∠A=150°时，四边形DAEF是矩形，理由如下：
∵△ABD、△ACE是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°，
∵四边形DAEF是平行四边形，
∴四边形DAEF是矩形，
故答案为：=150°；
②当∠BAC=60°时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在；理由如下：
∵∠BAC=60°，∠BAD=∠CAE=60°，
∴点D、A、E共线，
∴以D、A、E、F为顶点的四边形不存在；
故答案为：∠BAC=60°；
③当△ABC满足∠BAC=150°，且AB=AC≠BC时，四边形DAEF是正方形，理由如下：
由①得：当∠BAC=150°时，四边形DAEF是矩形；
当AB=AC时，由（1）得：EF=AB=AD，DF=AC=AE，
∵AB=AC，
∴AD=AE，
∵四边形DAEF是平行四边形，
∴四边形DAEF是菱形，
∴四边形DAEF是正方形．
故答案为：∠BAC=150°，AB=AC．

点评 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定以及正方形的判定；解此题的关键是求出EF=BA=AD，DF=AC=AE，主要考查了学生的推理能力．