Question

7．如图，以△ABC中AB，AC为边，向形外作等腰直角三角形ABH和ACG，D为BC边上中点，求证：DG=GH，且DG⊥DH．

Answer 1

分析 根据△ABH是等腰直角三角形，且BH=AH，所以得到HM=$\frac{1}{2}$AB，根据点N为AC的中点，点D为BC的中点，所以ND为△ABC的中位线，所以ND∥AB，且ND=$\frac{1}{2}$AB，同理MD∥AC，且MD=$\frac{1}{2}$AC，得到HM=DN，GN=MD，根据DN∥AB，DM∥AC，所以四边形AMDN是平行四边形，所以∠AMD=∠AND，证明∠HMD=∠DNG，所以△HMD≌△DNG，则HD=GD，易证∠1+∠2+∠3=90°，∠3=∠BAC=∠MDN，∠2=∠4，所以∠1+∠4+∠MDN=90°，所以HD⊥GD．

解答 证明：取AB、AC的中点M、N．
∵△ABH是等腰直角三角形，且BH=AH，
∴HM⊥AB，HM=$\frac{1}{2}$AB，
∵点N为AC的中点，点D为BC的中点，
∴DN为△ABC的中位线，
∴DN∥AB，且DN=$\frac{1}{2}$AB，
同理DM∥AC，且DM=$\frac{1}{2}$AC，
∴HM=DN，GN=DM，
∵DN∥AB，DM∥AC，
∴四边形AMDN是平行四边形，
∴∠AMD=∠AND，
∵∠AMD+∠BMD=∠AND+∠CND=180°，
∴∠BMD=∠CND，
∵HM⊥AB，
∴∠HMB=90°，同理∠GNC=90°，
∴∠HMB=∠GNC，
∴∠HMD=∠DNG．
在△HMD和△DNG中，
$\left\{\begin{array}{l}{HM=DN}\\{∠HMD=∠DNG}\\{DM=GN}\end{array}\right.$，
∴△HMD≌△DNG（SAS），
∴DG=HD，
∵∠1+∠2+∠3+∠GNC=180°，∠GNC=90°，
∴∠1+∠2+∠3=90°，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴∠3=∠BAC，∠BAC=∠MDN，
∴∠1+∠2+∠MDN=90°，
∵△HMD≌△DNG（SAS），
∴∠2=∠4，
∴∠1+∠4+∠MDN=90°，
∴∠HDG=90°，
∴HD⊥DG．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线的性质的综合运用，作辅助线构造三角形全等是解决问题的关键．