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【题目】在平面直角坐标系xOy,边长为5的正方形ABCD的对角线ACBD相交于点P,顶点Ax轴正半轴上运动,顶点By轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O),顶点C. D都在第一象限。

(1)当点A坐标为(4,0)时,求点D的坐标;

(2)求证:OP平分∠AOB

(3)直接写出OP长的取值范围(不要证明).

【答案】1D(7,4);2)见解析;(3 <OP5.

【解析】

1)作DMx轴于点M,由A40)可以得出OA=4,由勾股定理就可以求出OB=3,再通过证明AOB≌△DMA就可以求出AM=OBDM=OA,从而求出点D的坐标.

2)过P点作x轴和y轴的垂线,可通过三角形全等,证明OP是角平分线.

3)因为OP在∠AOB的平分线上,就有∠POA=45°,就有OP= PE,在RtAPE中运用三角函数就可以表示出PE的范围,从而可以求出OP的取值范围.

(1)DMx轴于点M

∴∠AMD=90°.

∵∠AOB=90°

∴∠AMD=AOB.

∵四边形ABCD是正方形,

AB=AD,BAD=90°

∴∠OAB+DAM=90.

∵∠OAB+OBA=90°

∴∠DAM=OBA.

DMAAOB中,

∴△DMA≌△AOB

AM=OBDM=AO.

A(4,0)

OA=4

AB=5,在RtAOB中由勾股定理得:

OB= =3.

AM=3MD=4

OM=7.

D(7,4);

(2)证明:作PEx轴交x轴于E点,作PFy轴交y轴于F

∵∠BPE+EPA=90°,EPB+FPB=90°

∴∠FPB=EPA

∵∠PFB=PEABP=AP

∴△PBF≌△PAE

PE=PF

∴点P都在∠AOB的平分线上.

(3)PEx轴交x轴于E点,作PFy轴交y轴于F点,则PE=h,设∠APE=α.

在直角APE,AEP=90°,PA=.

PE=PAcosα=cosα.

∵顶点Ax轴正半轴上运动,顶点By轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O)

α<45°

<cosα1.

<PE

OP= PE

<OP5.

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