Question

16．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
（1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF；
（2）如图2，若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形；
（3）在（2）的条件下，如果AB=10，那么△AEF的周长是否存在最小值？如果存在，请求出来．

Answer 1

分析 （1）首先连接AC，由菱形ABCD中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得△ABC是等边三角形，又由三线合一，可证得AE⊥BC，继而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，继而证得BE=DF；
（2）首先由△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得△AEF是等边三角形；
（3）由垂线段最短可知：当AE⊥BC时，AE有最小值，然后由特殊锐角三角函数值可求得AE的长，从而可求得△AEF的周长的最小值．

解答 证明：（1）如图1所示：连接AC．

∵在菱形ABCD中，∠B=60°，
∴AB=BC=CD，∠C=180°-∠B=120°．
∴△ABC是等边三角形．
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC．
∵∠AEF=60°，
∴∠FEC=90°-∠AEF=30°．
∴∠CFE=180°-∠FEC-∠ECF=180°-30°-120°=30°．
∴∠FEC=∠CFE．
∴EC=CF．
∴BE=DF．
（2）如图2所示：连接AC．

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°．
∴∠B=∠ACF=60°．
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD．
∴∠AEB=∠AFC．
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ACF}\\{∠AEB=∠AFC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（AAS）．
∴AE=AF．
∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形．
（3）由垂线段最短可知：当AE⊥BC时，AE有最小值．
∵AE⊥BC，∠B=60°，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴AE=10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=5$\sqrt{3}$．
∴△AEF周长的最小值为3×$5\sqrt{3}$=15$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．