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    19．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的矩形CEFD拼在一起，构成一个大的矩形ABEF，现将小矩形CEFD绕点C顺时针旋转，得到矩形CE′F′D′，旋转角为α．

    （1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；
    （2）如图2，G为BC的中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′=E′D；
    （3）小矩形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．

    分析 （1）根据旋转的性质得CD′=CD=2，即可判定∠CD′E=30°，然后根据平行线的性质即可得到∠α=30°；
    （2）由G为BC中点可得CG=CE，然后根据“SAS”可判断△GCD′≌△E′CD，则GD′=E′D；
    （3）根据正方形的性质得CB=CD，而CD=CD′，则△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，可计算出α=135°，当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，可计算得到α=315°．

    解答 （1）解：∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
    ∴CD′=CD=2，
    在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，
    ∴∠CD′E=30°，
    ∵CD∥EF，
    ∴∠α=30°；

    （2）证明：∵G为BC中点，
    ∴CG=1，
    ∴CG=CE，
    ∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
    ∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，
    ∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，
    在△GCD′和△E′CD中
    $\left\{\begin{array}{l}{CD′=CD}\\{∠GCD′=∠DCE′}\\{CG=CE′}\end{array}\right.$，
    ∴△GCD′≌△E′CD（SAS），
    ∴GD′=E′D；

    （3）解：能．理由如下：
    ∵四边形ABCD为正方形，
    ∴CB=CD，
    ∵CD′=CD′，
    ∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，
    当∠BCD′=∠DCD′时，△CBD′≌△DCD′，
    当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，则旋转角α=$\frac{360°-90°}{2}$=135°，
    当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，∠BCD′=∠DCD′=$\frac{1}{2}$∠BCD=45°
    则α=360°-$\frac{90°}{2}$=315°，
    即旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与△DCD′全等．

    点评 此题属于四边形的综合题．考查了旋转的性质、正方形的性质、矩形的性质以及三角形全等的判定与性质．注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键．

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