Question

点P是直线y=mx上的一点，过点P分别作y轴、x轴的垂线，交双曲线y=

k

x

（x＞0）于A、B两点，若PB=2AP，则

OA2+OB2-AB2

k

的值为

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,勾股定理,矩形的判定与性质

专题：分类讨论

分析：①当m＞O时，如图1，设点P的横坐标为a，根据条件可表示出PC、AC、PD、BD，进而表示出OA²+OB²-AB²，然后根据PB=2AP可求出m的值，就可求出所求代数式的值；
②当m＜O时，如图2，同①的解法就可求出所求代数式的值．

解答：解：①当m＞O时，如图1．
设点P的横坐标为a，
∵点P是直线y=mx上的一点，
∴点P的纵坐标为ma，
∴PC=a，PD=ma．
∵PC⊥y轴，∴y_A=y_P=ma．
∵点A在双曲线y=

k

x

（x＞0）上，
∴x_A=

k

ma

，∴AC=

k

ma

．
∵PB⊥x轴，∴x_B=x_P=a．
∵点B在双曲线y=

k

x

（x＞0）上，
∴y_B=

k

a

，∴BD=

k

a

．
∵PC⊥OC，PD⊥OD，∠COD=90°，
∴∠PCO=∠COD=∠ODP=90°，
∴四边形OCPD是矩形，
∴∠CPD=90°，OC=PD，PC=OD，
∴OA²+OB²-AB²=AC²+OC²+OD²+BD²-（AP²+PB²）
=AC²+PD²+PC²+BD²-AP²-PB²
=AC²+PC²-AP²+PD²+BD²-PB²
=（PC-AC）²+2PC•AC-AP²+（PD-BD）²+2PD•BD-PB²
=2PC•AC+2PD•BD
=2a•

k

ma

+2ma•

k

a

=

2k

m

+2mk．
∵PB=2AP，∴ma-

k

a

=2（a-

k

ma

），
∴m（a-

k

ma

）=2（a-

k

ma

），
∴m=2，
∴OA²+OB²-AB²=k+4k=5k，
∴

OA2+OB2-AB2

k

=5．
②m＜0时，如图2，
同理可得：OA²+OB²-AB²=2PC•AC+2PD•BD
=2a•

k

ma

+2×（-ma）•（-

k

a

）
=

2k

m

+2mk．
∵PB=2AP，∴

k

a

-ma=2（a-

k

ma

），
∴-m（a-

k

ma

）=2（a-

k

ma

），
∴m=-2，
∴OA²+OB²-AB²=-k-4k=-5k，
∴

OA2+OB2-AB2

k

=-5．
综上所述：

OA2+OB2-AB2

k

=±5．
故答案为：±5．

点评：本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的判定与性质、勾股定理等知识，而运用勾股定理及分类讨论是解决本题的关键．