Question

12．在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AB延长线上一点DE交BC于点F．
（1）如图（1），若BD=CE，求证：DF=EF；
（2）如图（2），若BD=$\frac{1}{n}$CE，试写出DF和EF之间的数量关系
（3）如图（3），在（2）的条件下，若点E在CA的延长线上，那么（2）中的结论还成立吗？试说明．

Answer 1

分析 （1）作EG∥AB交BC于G，就可以得出∠EGC=∠ABC，∠DBF=∠EGF，∠D=∠GEF，就可以得出△DBF≌△EGF，就可以得出结论；
（2）图（2）过E作EG∥AB交BC于G，根据平行线的性质得到∠EGC=∠ABC，由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C，等量代换得到∠EGC=∠C，根据等腰三角形的判定得到EG=EC，通过△BDF∽△EFG，根据相似三角形的性质得到$\frac{BD}{EG}=\frac{DF}{EF}$，由于BD=$\frac{1}{n}$CE，即可得到$\frac{DF}{EF}=\frac{1}{n}$；
（3）方法同（2）．

解答 证明（1）：如图（1）作EG∥AB交BC于G，
则∠CGE=∠ABC，∠GEF=∠D，∠DBF=∠EGF．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠C=∠EGC，
∴CE=EG，
∵CE=BD，
∴BD=GE．
在△DBF和△EGF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠GEF}\\{BD=GE}\\{∠DBF=∠EGF}\end{array}\right.$，
∴△DBF≌△EGF（ASA），
∴DF=EF；

（2）$\frac{DF}{EF}=\frac{1}{n}$，
理由：图（2）过E作EG∥AB交BC于G，
∴∠EGC=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠EGC=∠C，
∴EG=EC，
∵EG∥AB，
∴△BDF∽△EFG，
∴$\frac{BD}{EG}=\frac{DF}{EF}$，
∵BD=$\frac{1}{n}$CE，
∴BD=$\frac{1}{n}$EG，
∴$\frac{DF}{EF}=\frac{1}{n}$；

（3）成立，如图（3），
过E作EG∥AB交BC于G，
∴∠EGC=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠EGC=∠C，
∴EG=EC，
∵EG∥AB，
∴△BDF∽△EFG，
∴$\frac{BD}{EG}=\frac{DF}{EF}$，
∵BD=$\frac{1}{n}$CE，
∴BD=$\frac{1}{n}$EG，
∴$\frac{DF}{EF}=\frac{1}{n}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．