Question

1．如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点M，且∠A=∠B．
（1）求证：AC=BD；
（2）若OA=2，∠A=30°，当AC⊥BD时，求弧$\widehat{CD}$的长．

Answer 1

分析 （1）延长AO交⊙O于点F，连接CF，延长BO交⊙O于点E，连接DE，根据圆周角定理得出∠EDB=∠FCA=90°，故可得出△DEB≌△CFA，由此得出结论；
（2）延长AO交⊙O于点F，连接CF，延长BO交⊙O于点E，连接DE，CD，OD，OC，求出∠COA的度数，再由三角形外角的性质得出∠EOA的度数，由弧长公式即可得出结论．

解答 （1）证明：延长AO交⊙O于点F，连接CF，延长BO交⊙O于点E，连接DE，
∵BE，AF是⊙O的直径，
∴∠EDB=∠FCA=90°．
在△DEB与△CFA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EDB=∠FCA}\\{∠B=∠A}\\{EB=FA}\end{array}\right.$，
∴△DEB≌△CFA（AAS），
∴AC=BD；

（2）延长AO交⊙O于点F，连接CF，延长BO交⊙O于点E，连接DE，CD，OD，OC，
∵∠A=30°，OA=OC，
∴∠COA=180°-30°-30°=120°．
∵∠A=∠B=30°，AC⊥BD，
∴∠EOA+∠A=60°，
∴∠EOA=30°，
∴∠DOE=60°，
∴∠COD=30°，
∴${l}_{\widehat{CD}}$=$\frac{30πr}{180}$=$\frac{1}{3}$π．

点评 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．