Question

16．如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A，B．已知抛物线$y=\frac{1}{6}{x^2}+bx+c$过点A和B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数关系式并求点C的坐标．
（2）点Q（8，m）在抛物线$y=\frac{1}{6}{x^2}+bx+c$上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB最小值．
（3）CD是过点C的⊙M的切线，点D是切点，且与x轴交于点E，求切点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知点A，B的坐标分别为（2，0），（6，0），代入函数解析式即可求得抛物线的解析式，即可得点C的坐标；
（2）根据图象可得PQ+PB的最小值即是AQ的长，所以抛物线对称轴l是x=4．所以Q（8，m）抛物线上，则m=2．过点Q作QK⊥x轴于点K，则K（8，0），QK=2，AK=6，求的AQ的值即可；
（3）此题首先要证得OD∥CM，利用待定系数法求得CD的解析式，即可求得D点坐标．

解答 解：（1）由已知，得A（2，0），B（6，0），
∵抛物线y=$\frac{1}{6}$x²+bx+c过点A和B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{6}×{2}^{2}+2b+c=0}\\{\frac{1}{6}×{6}^{2}+6b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{4}{3}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
则抛物线的解析式为y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{4}{3}$x+2．
故C（0，2）；

（2）如图①，抛物线对称轴l是x=4．
∵Q（8，m）在抛物线上，
∴m=2．过点Q作QK⊥x轴于点K，则K（8，0），QK=2，AK=6，
∴AQ=$\sqrt{A{K}^{2}+Q{K}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．
又∵B（6，0）与A（2，0）关于对称轴l对称，
∴PQ+PB的最小值=AQ=2$\sqrt{10}$．

（3）如图②，连接DM和CM．
由已知，得DM=OC=2．
∵CD是⊙M的切线，
∴∠CDM=90°，
在△COE和△MDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COE=∠MDE}\\{∠CEO=∠MED}\\{OC=DM}\end{array}\right.$，
∴△DEM≌△DOC（AAS）．
∴OE=DE，CE=ME．
设OE=x，CE=4x，由题意可得：x²+4=（4-x）²，
解得：x=$\frac{3}{2}$，
故E（$\frac{3}{2}$，0），EM=$\frac{5}{2}$，
过点D作DH⊥x轴，设CD的函数表达式为：y=kx+2
将E（$\frac{3}{2}$，0）代入得：
$\frac{3}{2}$k+2=0，解得：k=-$\frac{4}{3}$，
故CD的函数关系式为；y=-$\frac{4}{3}$x+2，
在△EDM中，AH×EM=ED×DM，
∵ED=$\frac{3}{2}$，DM=2，EM=$\frac{5}{2}$，
∴AD=$\frac{6}{5}$，则D_y=-$\frac{6}{5}$，
当y=-$\frac{6}{5}$时，
-$\frac{4}{3}$x+2=-$\frac{6}{5}$，
则-$\frac{4}{3}$x+2=-$\frac{6}{5}$，
解得：x=$\frac{12}{5}$，
故D（$\frac{12}{5}$，-$\frac{6}{5}$）．

点评 此题考查了二次函数与一次函数以及圆的综合知识，要注意待定系数法求解析式，要注意数形结合思想的应用．