Question

5．如图，已知∠ABC=90°，∠ABE是等边三角形，点P为射线BC上一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F．
（1）证明：△ABP≌△AEQ；
（2）求∠QFC的度数．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和，证明∠BAP=∠EAQ，进而得到△ABP≌△AEQ；
（2）由（1）证得∠AEQ=∠ABP=90°，则∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF=60°．

解答 解：（1）证明：∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP，∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP，
∴∠BAP=∠EAQ
在△ABP和△AEQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAP=∠EAG}\\{AP=AQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△AEQ；
（2）由（1）证得△ABP≌△AEQ
∴∠AEQ=∠ABP=90°
∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，
∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60°．

点评 本题考查了等边三角形的性质，图形的旋转，三角形的外角的性质，关键是找到全等三角形．