Question

10．如图，E为矩形ABCD边CB延长线上一点，CE=CA，F为AE的中点，
（1）求证：BF⊥FD；
（2）若AB=8，AD=6，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）由CE=CA，F为AE的中点，利用等腰三角形“三线合一”，得∠CFA=90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF=EF=AF，然后利用等边对等角的性质得到∠FBA=∠FAB，从而推出∠FAD=∠FBC，再根据矩形的对边相等可得AD=BC，然后利用“边角边”即可证明△AFD≌△FBC；利用全等三角形的性质得∠BFC=∠AFD，等量代换得出结论．
（2）求出AC和BD，得出CE长，求出BE，根据勾股定理求出AE，求出BF，在△BFD中，由勾股定理求出DF即可．

解答 （1）证明：∴CE=CA，F为AE的中点，
∴∠CFE=∠AFC=90°，
∵矩形ABCD，F为AE的中点，
∴BF=EF=AF，
∴∠FBA=∠FAB，
∴∠FAD=∠FBC，
∵AD=BC，
在△AFD和△FBC中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=BF}\\{∠FAD=∠FBC}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△FBC（SAS），
∴∠BFC=∠AFD，
∴∠BFD=90°，
∴BF⊥FD；

（2））解：连接BD，
∵∠ABC=90°，AB=8，AD=6，由勾股定理得：BD=AC=10=CE，
∴BE=10-6=4，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=$\sqrt{{8}^{2}{+4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵F为AE中点，
∴BF=$\frac{1}{2}$AE=2$\sqrt{5}$，
在Rt△DFB中，DF=$\sqrt{{BD}^{2}{-FB}^{2}}$=$\sqrt{{10}^{2}{-（2\sqrt{5}）}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了矩形性质，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理等知识点的运用，灵活运用直角三角形斜边上中线的性质是解此题的关键，