Question

15．如图，已知△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点D为AB边上一点． 
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：△ADE是直角三角形；
（3）已知△ADE的面积为30cm²，DE=13cm，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）由于△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，那么∠B=∠BAC=45°，AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=90°，结合等式性质易证∠1=∠2，那么利用SAS可证△ACE≌△BCD；
（2）由（1）证得△ACE≌△BCD，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，于是可得∠CAE=∠B=45°，易求∠EAD=90°；求得结论；
（3）由△ADE的面积为30，利用面积公式得到AD•AE=60，解直角三角形得到AD+AE=17，根据BD=AE，求得AB=AD+BD=AD+AE=17cm．

解答 解：（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45°，
AC=BC，
CE=CD，
∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠1=∠2，
在△ACE和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠1=∠2}\\{CE=CD}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△BCD；

（2）由（1）证得△ACE≌△BCD，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠CAE=∠B=45°，
∴∠EAD=∠EAC+∠CAB=45°+45°=90°，
∴△ADE是直角三角形；

（3）解：由题意得：$\frac{1}{2}$AD•AE=30，即AD•AE=60，
在R_t△ADE中，由勾股定理得：AD²+AE²=DE²=13²=169，
∴（AD+AE）²=AD²+AE²+2AD•AE=289，
∴AD+AE=17，
由（1）得：△ACE≌△BCD，
∴BD=AE，
∴AB=AD+BD=AD+AE=17cm．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键是证明△ACE≌△BCD．