Question

6．如图，已知矩形ABCD边CD上有一点P，且AP=AB，M是线段AP上的一点（不与点P、A重合），N是线段AB延长线上的一点，且BN=PM，连结MN交PB于点F，过点M作ME⊥BP于点E，若AD=8，PC=4，则线段EF的长是2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ$\frac{1}{2}$PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF$\frac{1}{2}$QB，
再求出EF$\frac{1}{2}$PB，由（1）中的结论求出PB=$\sqrt{{8}^{2}{+4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，即可得出线段EF的长度．

解答 解：如图作MQ∥AN，交PB于点Q，
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP=∠MQP．
∴MP=MQ，
∵BN=PM，
∴BN=QM．
∵MP=MQ，ME⊥PQ，
∴EQ=$\frac{1}{2}$PQ．
∵MQ∥AN，
∴∠QMF=∠BNF，
在△MFQ和△NFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QFM=∠NFB}\\{∠QMF=∠BNF}\\{MQ=BN}\end{array}\right.$，
∴△MFQ≌△NFB（AAS）．
∴QF=BF=$\frac{1}{2}$QB，
∴EF=EQ+QF=$\frac{1}{2}$PQ+$\frac{1}{2}$QB=$\frac{1}{2}$PB，
∵PC=4，BC=8，∠C=90°，
∴PB=$\sqrt{{8}^{2}{+4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$PB=2$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等的三角形．