Question

11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF=∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．
（3）若∠DGC=60°，DG=6cm，求EG的长．

Answer 1

分析 （1）由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对顶角相等及E为AB中点得到一对边相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；
（2）∠GDF=∠ADE，以及（1）得出的∠ADE=∠BFE，等量代换得到∠GDF=∠BFE，利用等角对等边得到GF=GD，即三角形GDF为等腰三角形，再由（1）得到DE=FE，即GE为底边上的中线，利用三线合一即可得到GE与DF垂直；
（3）由平行线的性质得到∠ADG=∠DGC，根据∠GDF=∠ADF，∠GDF=30°，利用直角三角形性质得到结论．

解答 （1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠BFE，
∵E为AB的中点，
∴AE=BE，
在△ADE和△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠BFE}\\{∠AED=∠BEF}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BFE（AAS）；

（2）解：EG与DF的位置关系是EG垂直平分DF，
理由为：连接EG，
∵∠GDF=∠ADE，∠ADE=∠BFE，
∴∠GDF=∠BFE，
由（1）△ADE≌△BFE得：DE=FE，即GE为DF上的中线，
∴GE垂直平分DF．

（3）解：∵AD∥BC，∠DGC=60°，
∴∠ADG=∠DGC=60°，
∵∠GDF=∠ADF，
∴∠GDF=30°，
由（2）知：EG⊥DF，
在Rt△GED中
EG=$\frac{1}{2}$DG=$\frac{1}{2}$×6=3cm．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．