Question

5．正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．

（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，求证：AF=AE+OE；
（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2的位置时，线段AF、AE、OE之间又有怎样的数量关系？

Answer 1

分析 （1）过点B作BG⊥OE于G，推出四边形BGEF是矩形，根据矩形的性质得出EF=BG，BF=GE，求出OA=OB，∠OBG+∠BOE=90°，∠AOE=∠OBG，根据AAS推出△AOE≌△OBG，根据全等得出OG=AE，OE=BG即可；
（2）过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，推出四边形BGEF是矩形，根据矩形的性质得出EF=BG，BF=GE，求出OA=OB，∠OBG+∠BOE=90°，∠AOE=∠OBG，根据AAS推出△AOE≌△OBG，根据全等三角形的性质得出OG=AE，OE=BG即可．

解答 （1）证明：如图1，过点B作BG⊥OE于G，
则四边形BGEF是矩形，
所以EF=BG，BF=GE，
在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，
∵BG⊥OE，
∴∠OBG+∠BOE=90°，
又∵∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠AOE=∠OBG，
∵在△AOE和△OBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠OBG}\\{∠AEO=∠OGB}\\{OA=OB}\end{array}\right.$
∴△AOE≌△OBG（AAS），
∴OG=AE，OE=BG，
∵AF=AE+EF，
又∵OE=BG，EF=BG
∴AF=AE+OE；

（2）解：图2结论：AF=AE+OE，
理由是：如图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，
则四边形BGEF是矩形，
所以EF=BG，BF=GE，
在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，
∵BG⊥OE，
∴∠OBG+∠BOE=90°，
又∵∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠AOE=∠OBG，
∵在△AOE和△OBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠OBG}\\{∠AEO=∠OGB}\\{OA=OB}\end{array}\right.$
∴△AOE≌△OBG（AAS），
∴OG=AE，OE=BG，
∵AF=AE+EF，
又∵OE=BG，EF=BG
∴AF=AE+OE．

点评 本题考查了矩形的性质和判定，正方形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步推出△AOE≌△OBG，证明过程类似．