Question

20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，以AC为边作等边△ACD，并作斜边AB的垂直平分线EH，且EB=AB，联结DE交AB于点F，求证：EF=DF．

Answer 1

分析 根据直角三角形性质和线段垂直平分线求出BC=$\frac{1}{2}$AB，BH=$\frac{1}{2}$AB，推出BC=BH，推出Rt△ACB≌Rt△EHB，根据全等得出EH=AC，求出EH=AD，∠CAD=60°，∠BAD=90°，根据AAS推出△EHF≌△DAF，根据全等三角形的性质得出即可．

解答 证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，
∵EH垂直平分AB，
∴BH=$\frac{1}{2}$AB，
∴BC=BH，
在Rt△ACB和Rt△EHB中，
$\left\{\begin{array}{l}BC=BH\\ EB=AB\end{array}\right.$，
∴Rt△ACB≌Rt△EHB（HL），
∴EH=AC，
∵等边△ACD中，AC=AD，
∴EH=AD，∠CAD=60°，∠BAD=60°+30°=90°，
在△EHF和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}EH=AD\\∠EHF=∠DAF\\∠EFH=∠DFA\end{array}\right.$，
∴△EHF≌△DAF （AAS）
∴EF=DF．

点评 本题考查了线段垂直平分线性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，难度适中．