Question

12．我们规定，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．如图，四边形ABCD，小明同学通过测量得，AB=CD，BC=AD．
（1）小明想起了老师的一句话：“三角形”的知识很重要很基础，以后的四边形乃至多边形的问题，常常要转化成三角形来解决．于是，他尝试着连结了AC，欣喜地发现这个四边形是平行四边形！请你循着小明的思路，说明AB∥CD，AD∥CB的理由．
解：如图，连结AC．
（2）小明又连结了BD，与AC交于点O，通过观察、分析，他得出以下结论：
①∠BAD=∠DCB，∠ABC=∠CDA；
②AO=CO，BO=DO；
③这时的图形中，有两对全等三角形；
④△AOB和△AOD的面积相等；
请你通过观察、测量、分析等方法，判断小明的这些结论中正确的个数是3个．

Answer 1

分析 （1）因为AB=CD，BC=AD，AC为公共边，运用SSS定理△ABC≌△CDA，利用全等三角形的性质得∠BAC=∠DCA，所以AB∥CD，同理得AD∥CB；
（2）①因为AB=CD，BC=AD，BD为公共边，运用SSS定理△ABD≌△CDB，利用全等三角形的性质得∠BAD=∠DCB，同理△ABC≌△CDA，∠ABC=∠CDA；
②因为AB∥CD，AD∥CB，利用平行线的性质，∠ABD=∠BDC，∠DAC=∠ACB，AB=CD，∠AOB=∠COD，运用AAS定理证得△AOB≌△COD，利用全等三角形的性质得，AO=CO，BO=DO；∴
③AD=CB，∠BAD=∠DCB，AB=CD，运用SAS定理，证得△ABD≌△DCB，同理证得△ABC≌CDA，所以共有四对全等三角形；
④因为BO=DO，△AOB和△AOD为等底同高的三角形，所以面积相等．

解答 证明：（1）在△ABC与△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{BC=AD}\\{AC=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD；
在△ABD与△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{AB=CD}\\{BD=DB}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC；

（2）①∵△ABD≌△CDB，
∴∠BAD=∠DCB；
∵△ABC≌△CDA，
∴∠ABC=∠CDA；
∴①正确；
②∵△ABD≌△CDB，
∴∠ABD=∠BDC，
在△AOB与△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠COD}\\{∠ABD=∠BDC}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴AO=CO，BO=DO；
∴②正确；
③由以上结论知：
△ABC≌△CDA，△ABD≌△CDB，△AOB≌△COD，△AOD≌COD，
∴共有四对全等三角形，
∴③错误；
④∵BO=DO，△AOB和△AOD为等底同高的三角形，
∴面积相等，
∴④正确；
故答案为：3．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，选择恰当的判定条件是解决此题的关键．