Question

【题目】已知：在四边形中， ， ， ， ．

（）求四边形的面积．

（）点是线段上的动点，连接、，求周长的最小值及此时的长．

（）点是线段上的动点， 、为边上的点， ，连接、，分别交、 于点、，记和重叠部分的面积为，求的最值．

Answer 1

【答案】（）．（）．3．（）．

【解析】试题分析：（1）如图1，过A作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，得到四边形AEFD是矩形，由矩形的想知道的EF=AD=6，BE=CF=3，根据勾股定理得到，于是得到结论；
（2）如图2，作点B关于直线AD的对称点G，连接CG交AD于P，则BC+PB+PC=BC+PG+PC即为△BCP周长的最小值，根据勾股定理得到，于是得到△BCP周长的最小值为：4+12；根据三角形中位线的性质得到PH=BC=6，由勾股定理得到，于是得到结论．

（3）过点作的垂线分别交、于、点，过点作的垂线分别交、于、点，过点作的垂线分别交、于、点，如图所示，设，则．因为，所以∽，得；同理可得∽， ∽，得： ， ，所以，进而求得答案.

试题解析：（）如图1，过作于， 于．

则四边形是矩形．

∴， ．

∴．

∴．

（）如图2，作点关于直线的对称点，

连接交于，则．

即为的最小周长．

由（）知．

在中， ．

∴的．

∵， ，

∴．

∵，

∴．

（）过点作的垂线分别交、于、点，过点作的垂线分别交、于、点，过点作的垂线分别交、于、点，如图3所示，设，则．

因为，所以∽，

所以，又，所以；

同理可得∽， ∽，

所以， ，

求得： ， ，其中，

所以，

即

．

因此当时， 有最大值；当或时， 有最小值了．