【题目】如图,D、E分别是△ABC的边BC、AB上的点,△ABC,△BDE,△ACD的周长依次为,
,
.
(1)当∠2=∠3,BD=BC时,求
的值;
(2)当∠1=∠2,BD=BC时,求
的值;
(3)当∠1=∠2=∠3时,证明: ≤
.
【答案】(1)=
;
(2)=
;
(3)证明见解析
【解析】【试题分析】(1)根据相似三角形的周长比等于相似比,即先证明两个三角形相似,
△BDE∽△BCA,得=
;
(2)∠1=∠2,∠C是公共角,得△ACD∽△BCA,
由=
=
得
=
=
,由BD=
BC,得DC=
BC,则
=
;
(3)先证明△ACD∽△BDE∽△BCA.
根据相似三角形的性质得: =
①
=
=
②
由②得, =
=
=
=1-
=1-
,
∴=1-
.
=
+
=1-
+
=-
+
+1=-
,
∵-≤0,∴
≤
.
【试题解析】
(1)∵∠2=∠3,∴DE∥AC,
∴△BDE∽△BCA
∴=
,
由BD=BC,得
=
,
即=
;
(2)∵∠1=∠2,∠C是公共角,
∴△ACD∽△BCA,
∴=
=
∴=
=
,
由BD=BC,得DC=
BC,
∴=
;
(3)证法一:由∠2=∠3,得DE∥AC,
∴△BDE∽△BCA;
∠1=∠2,∠C是公共角,∴△ACD∽△BCA,
∴△ACD∽△BDE∽△BCA.
∴=
①
=
=
②
由②得, =
=
==1-
=1-
,
∴=1-
.
=
+
=1-
+
=-+
+1=-
,
∵-≤0,
∴≤
.
证法二:由∠2=∠3,得AC∥DE,∴△BCA∽△BDE.
∵∠1=∠2,∠C是公共角,∴△BCA∽△ACD,
∴△BCA∽△BDE∽△ACD.
∵△ABC,△EBD,△ADC的周长为,
,
,
∴相似比为︰
︰
,
∴BC︰BD︰AC=︰
︰
.
设=
=
=
,
则BC=,BD=
,AC=
.
CD=BC-BD=()
,由
,得
,
等式左边的分子、分母同除以,
得,
设,
,
则,1-
=
,
=1-
,
=
+
=
+
=
+1-
=-+
+1=-
,
当=
时,
取得最大值
,∴
≤
.
证法三:证明:由∠2=∠3,得DE∥AC,
∴△EBD∽△ABC.设相似比为,由题意知,
0<<1.则
=
=
=
=
.
∵∠2=∠1,∠C是公共角,∴△DAC∽△ABC,
∴=
=
=
.
在△ABC中,设AB=,AC=
,BC=
,
由=
,得BD=
BC=
,CD=BC-BD=
-
.
由=
,得DE=
AC=
.
由△ABC∽△DAC,得=
,
得,∴
.
∵0<<1,∴1-
>0,∴
=
.
∴=
+
=
+
==
=
+
.
设=
,
则1-=
,
=1-
,
∴=1-
+
=-
+
+1
=-,
当=
时,
取得最大值
,
∴≤
.
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【题目】已知:在四边形中,
,
,
,
.
()求四边形
的面积.
()点
是线段
上的动点,连接
、
,求
周长的最小值及此时
的长.
()点
是线段
上的动点,
、
为边
上的点,
,连接
、
,分别交
、
于点
、
,记
和
重叠部分的面积为
,求
的最值.
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【题目】如图所示的折线ABC表示从甲地向乙地打长途电话所需的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系的图象.
(1)写出y与t之间的函数关系式.
(2)通话2分钟应付通话费多少元?
(3)通话7分钟呢?
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【题目】“道路交通管理条例”规定:小汽车在城街上行驶速度不得超过70千米/小时,如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方30米B处,过了2秒后,测得小汽车C与车速检测仪A间距离为50米,这辆小汽车超速了吗?
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【题目】有一天,龟、兔进行了600米赛跑,如图表示龟兔赛跑的路程s(米)与时间t(分钟)的关系(兔子睡觉前后速度保持不变),根据图象回答以下问题:
(1)赛跑中,兔子共睡了多少时间?
(2)赛跑开始后,乌龟在第几分钟时从睡觉的兔子旁经过?
(3)兔子跑到终点时,乌龟已经到了多长时间?并求兔子赛跑的平均速度.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为(2,0),则下列说法:
①y随x的增大而减小;②b>0;③关于x的方程kx+b=0的解为x=2;④不等式kx+b>0的解集是x>2.
其中说法正确的有_________(把你认为说法正确的序号都填上).
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【题目】2016年4月14日日本熊本县发生6.2级地震,据NHK报道,受强地震造成的田地受损,农产品无法出售等影响,日本熊本县农林业遭受的地震损失最少可达236亿日元,数据236亿用科学记数法表示为( )
A.2.36×108
B.2.36×109
C.2.36×1010
D.2.36×1011
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