Question

【题目】如图①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y=(x＞0)的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y=kx+b经过点E和点F．

（1）写出中点D的坐标　　　　 ，并求出反比例函数的解析式；

（2）连接OE、OF，求△OEF的面积；

（3）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+ON的最小值．

Answer 1

【答案】（1）D(，2)，y=；（2）；（3）4．

【解析】

（1）首先确定点B坐标，再根据中点坐标公式求出点D的坐标即可解决问题．

（2）求出点E，F的坐标，再根据S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB计算即可．

（3）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．解直角三角形首先证明：sin∠JOD＝，推出NJ＝ONsin∠NOD＝ON，推出NH＋ON＝NH＋NJ，根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN＋ON的值最小，最小值＝HK的长，由此即可解决问题．

（1）在矩形ABCO中，∵OA=BC=4，OC=AB=3，

∴B(3，4)．

∵OD=DB，

∴D(，2)．

∵y=经过D(，2)，

∴k=3，

∴反比例函数的解析式为y=．

（2）如图①中，连接OE，OF．

由题意E(，4)，F(3，1)，

∴S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB=12﹣×4×﹣×3×1﹣×3×(3﹣)=．

（3）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．

由题意OB=OH=5，

∴CH=OH﹣OC=5﹣3=2，

∴BH==2，

∴sin∠CBH==．

∵OM⊥BH，

∴∠OMH=∠BCH=90°．

∵∠MOH+∠OHM=90°，∠CBH+∠CHB=90°，

∴∠MOH=∠CBH．

∵OB=OH，OM⊥BH，

∴∠MOB=∠MOH=∠CBH，

∴sin∠JOD=，

∴NJ=ONsin∠NOD=ON，

∴NH+ON=NH+NJ，

根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN+ON的值最小，最小值=HK的长．

∵OB=OH，BC⊥OH，HK⊥OB，

∴HK=BC=4，

∴HN+ON是最小值为4．