【题目】如图,在中,
是
边上的一点,
是
的中点,过
点作
的平行线交
的延长线于点
,且
,连接
.
(1)求证:是
的中点;
(2)如果,试判断四边形
的形状,并证明你的结论.
【答案】(1)证明见解析;(2)四边形ADBF是矩形,证明见解析.
【解析】
(1)先由AF∥BC,利用平行线的性质可证∠AFE=∠DCE,而E是AD中点,那么AE=DE,∠AEF=∠DEC,利用AAS可证△AEF≌△DEC,那么有AF=DC,又AF=BD,从而有BD=CD;
(2)四边形AFBD是矩形.由于AF∥DB,AF=DB,易得四边形AFBD是平行四边形,又AB=AC,BD=CD,利用等腰三角形三线合一定理,可知AD⊥BC,即∠ADB=90°,那么可证四边形AFBD是矩形.
证明:(1)∵E是AD中点,
∴AE=DE
∵AF‖BC,
∴∠AFE=∠DCE,∠EAF=∠EDC
在△AFE和△DCE中,
∴△AFE≌△DCE,
∴AF=DC
又∵AF=DB,
∴DC=BD,
∴点D是BC的中点
(2)四边形ADBF是矩形
∵AF∥DB,AF=DB,
∴四边形ADBF是平行四边形.
又∵AB=AC,
D为BC中点,
∴AD⊥BC,
∴四边形ADBF是矩形.
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【题目】如右图,正方形ABCD的边长为2,点E是BC边上一点,以AB为直径在正方形内作半圆
O,将△DCE沿DE翻折,点C刚好落在半圆O的点F处,则CE的长为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】问题背景:如图 1,在和
中,
,连接
交
的延长线于点
.则
的值是____________.
问题解决:如图 2,在问题背景的条件下,将绕点
在平面内旋转,点
始终在
的外部,
所在直线交于点
,若
,当点
与点
重合时,
的长是____________
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【题目】如图,AM是△ABC的中线,D是线段AM上一点(不与点A重合).DE∥AB交AC于点F,CE∥AM,连结AE.
(1)如图1,当点D与M重合时,求证:四边形ABDE是平行四边形;
(2)如图2,当点D不与M重合时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.
(3)如图3,延长BD交AC于点H,若BH⊥AC,且BH=AM.
①求∠CAM的度数;
②当FH=,DM=4时,求DH的长.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,且AB=4,点C是弧AB上的一动点(不与A,B重合),过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D,点E是BD的中点,连接EC.
(1)若BD=8,求线段AC的长度;
(2)求证:EC是⊙O的切线;
(3)当∠D=30°时,求图中阴影部分面积.
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【题目】某次台风来袭时,一棵大树树干AB(假定树干AB垂直于地面)被刮倾斜15°后折断倒在地上,树的项部恰好接触到地面D(如图所示),量得树干的倾斜角为∠BAC=15°,大树被折断部分和地面所成的角∠ADC=60°,AD=4米,求这棵大树AB原来的高度是( )米?(结果精确到个位,参考数据:≈1.4,
≈1.7,
≈2.4)
A.9B.10C.11D.12
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【题目】如图①,在矩形OABC中,OA=4,OC=3,分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴,建立如图所示的坐标系,连接OB,反比例函数y=(x>0)的图象经过线段OB的中点D,并与矩形的两边交于点E和点F,直线l:y=kx+b经过点E和点F.
(1)写出中点D的坐标 ,并求出反比例函数的解析式;
(2)连接OE、OF,求△OEF的面积;
(3)如图②,将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度,使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上,连接BH,作OM⊥BH,点N为线段OM上的一个动点,求HN+ON的最小值.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A(﹣2,1),B(1,n)两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)根据图象写出使一次函数的值>反比例函数的值的x的取值范围.
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【题目】如图,直线:
与
轴、
轴交于
、
两点,与反比例函数
的图像交于点
,且
.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)点是直线
上一点,过点
作
轴的平行线交反比例函数
和
的图像于
,
两点,连
,
,当
时,求
的值.
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