Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C是弧AB上的一动点（不与A，B重合），过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC．

（1）若BD＝8，求线段AC的长度；

（2）求证：EC是⊙O的切线；

（3）当∠D＝30°时，求图中阴影部分面积．

Answer 1

【答案】（1）AC＝；（2）见解析；（3）4﹣

【解析】

（1）连接BC，如图，连接BC，根据切线的性质得到∠ABD＝90°，根据勾股定理得到AD＝＝4，根据三角形的面积公式和勾股定理即可得到结论；

（2）连接OC，OE，由E是BD的中点，可得CE＝BE，证明△OCE≌△OBE，得∠OCE＝∠OBE＝90°，则结论得证；

（3）阴影部分的面积即为四边形OBED的面积减去扇形COB的面积．

解：（1）如图，连接BC，

∵BD是⊙O的切线，

∴∠ABD＝90°，

∵AB＝4，BD＝8，

∴AD＝＝4，

∵AB为⊙O的直径，

∴BC⊥AD，

∴BC＝＝＝，

∴AC＝＝；

（2）连接OC，OE，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△BDC中，

∵BE＝ED，

∴DE＝EC＝BE，

∵OC＝OB，OE＝OE，

∴△OCE≌△OBE（SSS），

∴∠OCE＝∠OBE，

∵BD是⊙O的切线，

∴∠ABD＝90°，

∴∠OCE＝∠ABD＝90°，

∵OC为半径，

∴EC是⊙O的切线；

（3）∵OA＝OB，BE＝DE，

∴AD∥OE，

∴∠D＝∠OEB，

∵∠D＝30°，

∴∠OEB＝30°，∠EOB＝60°，

∴∠BOC＝120°，

∵AB＝4，

∴OB＝2，

∴BE＝2．

∴四边形OBEC的面积为2S△OBE＝2××2×2＝4，

∴阴影部分面积为S四边形OBEC﹣S扇形BOC＝4﹣＝4﹣．