Question

【题目】如图，直线AB：y＝x+2与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是第一象限内直线AB上一点，过点C作CD⊥x轴于点D，且CD的长为，P是x轴上的动点，N是直线AB上的动点．

（1）直接写出A，B两点的坐标；

（2）如图①，若点M的坐标为（0，），是否存在这样的P点．使以O，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若有在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，将直线AB绕点C逆时针旋转交y轴于点F，交x轴于点E，若旋转角即∠ACE＝45°，求△BFC的面积．

Answer 1

【答案】（1）点A（﹣4，0），点B（0，2）；（2）点P（﹣1，0）或（﹣7，0）或（7，0）；（3）S△BFC＝.

【解析】

（1）令x＝0，y＝0可求点A，点B坐标；

（2）分OM为边，OM为对角线两种情况讨论，由平行四边形的性质可求点P坐标；

（3）过点C作CG⊥AB，交x轴于点G，由题意可得点C坐标，即可求直线CG解析式为：y＝2x＋，可得点G坐标，由锐角三角函数和角平分线的性质可得，可求点E坐标，用待定系数法可求直线CF解析式，可求点F坐标，即可求△BFC的面积．

（1）当x＝0时，y＝2，

当y＝0时，0＝×x+2

∴x＝﹣4

∴点A（﹣4，0），点B（0，2）

故答案为：（﹣4，0），（0，2）

（2）设点P（x，0）

若OM为边，则OM∥PN，OM＝PN

∵点M的坐标为（0， ），

∴OM⊥x轴，OM＝

∴PN⊥x轴，PN＝

∴当y＝时，则＝x+2

∴x＝﹣1

当y＝﹣时，则﹣＝x+2

∴x＝﹣7

∴点P（﹣1，0），点P（﹣7，0）

若OM为对角线，则OM与PN互相平分，

∵点M的坐标为（0，），点O的坐标（0，0）

∴OM的中点坐标（0，）

∵点P（x，0），

∴点N（﹣x，）

∴＝×（﹣x）+2

∴x＝7

∴点P（7，0）

综上所述：点P（﹣1，0）或（﹣7，0）或（7，0）

（3）∵CD＝，即点C纵坐标为，

∴＝x+2

∴x＝3

∴点C（3，）

如图，过点C作CG⊥AB，交x轴于点G，

∵CG⊥AB，

∴设直线CG解析式为：y＝﹣2x+b

∴＝﹣2×3+b

∴b＝

∴直线CG解析式为：y＝﹣2x+,

∴点G坐标为（，0）

∵点A（﹣4，0），点B（0，2）

∴OA＝4，OB＝2，AG＝

∵tan∠CAG＝

∴

∵∠ACF＝45°，∠ACG＝90°

∴∠ACF＝∠FCG＝45°

∴，且AE+EG＝

∴AE＝

∴OE＝AE﹣AO＝

∴点E坐标为（，0）

设直线CE解析式为：y＝mx+n

∴

解得：m＝3，n＝

∴直线CE解析式为：y＝3x

∴当x＝0时，y＝

∴点F（0，）

∴BF＝

∴S△BFC＝.